NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Carrés magiques

 

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Carrés

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Carré magique 6 x 6

 

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Carrés

magiques

 

 

INDEX

 

Carrés magiques

 

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Carré 6 x 6

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Gigogne

 

Sommaire de cette page

>>> Carrés magiques d'ordre 6

>>> Carrés magique 6 avec CM 3

Construction du carré d'ordre 6

>>> Méthode matricielle (De la Hire)

>>> Méthode serpentin (La Loubère)

 

 

 

CARRÉS MAGIQUES

d'ordre 6

 

Somme magique:       111

Somme dans le carré:       666

Quantité de partitions* de 111: 32 134

* partitions avec les nombres de 1 à 36 tous différents

 

Carré magique 6x6

Chine – Yuan Dinastie (1271-1368

 

 

CARRÉ D'ORDRE 6

 

Somme magique

*    Nombres de 1 à 6² = 36

*    Somme de tous les nombres de 1 à 36 = ½ (36 x 37) =  666 !

*    Somme magique: 666 / 6 = 111

 

 

Exemple de carré magique d'ordre 6

 

6

25

24

13

7

36

35

11

14

20

29

2

33

27

16

22

10

3

4

28

15

21

9

34

32

8

23

17

26

5

1

12

19

18

30

31

 

 

  

1

32

3

34

35

6

 

35

3

31

8

30

4

12

29

9

10

26

25

1

32

9

28

5

36

13

14

22

21

23

18

6

7

2

33

34

29

24

20

16

15

17

19

26

21

22

17

12

13

30

11

28

27

8

7

19

23

27

10

14

18

31

5

33

4

2

36

24

25

20

15

16

11

 

 

*    Contrairement aux carrés d'ordre impair, les carrés d'ordre pair sont plus difficiles à construire.

*    Il n'existe pas de méthodes simples et universelles connues.

 

 

Carré magique 6 avec CM3

*      Ce carré magique d'ordre 6 est subdivisé en neuf petits carrés de quatre cellules.

*      On calcule la somme des quatre nombres de chaque carré.

 

*      Le carré 3 x 3 ainsi formé avec ces sommes est un carré magique d'ordre 3.

 

Notez la régularité de la formation du carré d'ordre 6 par groupe de quatre nombres consécutifs, selon deux mogèles:

 

 

 

 

 

Construction du carré d'ordre 6 – Matrices

Tableau 1

Un carré latin: nombre de 1 à 6; sommes 21 sur lignes, colonnes et diagonales

Tableau 2

Tableau 1 dont chaque case est multipliée par 6 et on y retranche 6.

Tableau 3

Tableau 1 transposé: lignes deviennent colonnes. Autrement-dit, le tableau a pivoté de 90°. Résultat: les couples de nombres de cases correspondantes sont tous présents et jamais dupliqués.

Carrés latins orthogonaux ou gréco-latins un peu spéciaux car les nombres sont dupliqués sur lignes et colonnes (le vrai carré gréco-latin d'ordre 6 n'existe pas)

Tableau 4

Chaque case du carré magique est la somme des cases correspondantes des tableaux 2 et 3.

 

 

 

Cette disposition est pratique pour fonctionner avec un tableur. Le tableau 3 est obtenu directement en faisant: collage spécial des valeurs avec transposition (Illustration).

Vous pouvez alors à loisir modifier le tableau de départ et vérifier instantanément si votre carré est magique

Voir Méthode générale / Construction du carré 8x8

 

 

 

 

Construction du carré d'ordre 6 - Serpentin

Les carrés magiques d'ordre pair ne sont pas simples à construire. Cette méthode permet de trouver la solution au prix de quelques ajustements.

 

La première opération consiste à écrire les nombres de gauche à droite en sautant une ligne sur deux, laissant la place aux nombres écrits dans l'autre sens et en remontant.

Cette opération permet d'obtenir les sommes verticales.

 

La deuxième opération consiste à créer des décalages pour satisfaire les sommes sur les lignes.

Le champ est laissé libre à la créativité, pourvu que les décalages opérés sur chacun des couples de lignes soient différents.

Certains passionnés ont même réalisé des tableaux qui montrent toutes les possibilités.

 

 

Premier tableau: choix de trois trajets différents, doublés (lignes vertes).

Il en existe beaucoup d'autres à condition de produire la somme magique sur chaque ligne verte.

 

Deuxième tableau: les lignes sont "dépliées" selon le trajet vert choisi.

Résultat: les sommes sur les lignes  semblent sympathiques, mais pas correctes.

 

Troisième tableau: avec des inversions de nombres (jaunes), les lignes présentent la même somme.

 

 

Bilan: nous avons eu successivement les colonnes puis les lignes à 111. Nous sommes proches du but!

 

 

 

La troisième opération consiste à rétablir les sommes sur les colonnes par échanges de lignes.

 

Intuition: progression arithmétique de 7 sur les diagonales pour passer de 1 à 36 avec les nombres 1, 8, 15, 22, 29 et 36. Même chose pour la diagonale descendante avec + 5.

 

 

Premier tableau: les lignes obtenues précédemment sont déplacées pour satisfaire les nombres des diagonales. Certaines lignes sont inversées.

 

 

 

 

 

 

 

Second tableau: quelques inversions sont réalisées pour rétablir la somme sur les colonnes, sans changer les valeurs des lignes et des diagonales.

 

Voir  Méthode générale

Construction du carré 10x10

 

Progression arithmétique sur les diagonales

 

  

Deux autres carrés obtenus avec la même méthode

     

 

 

 

 

   

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