NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire

 

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Sommaire de cette page

>>> Addition et somme

>>> Symbole de somme d'une suite

>>> Somme d'une suite infinie convergente

>>> Somme d'une suite infinie non convergente

>>> Somme discrète ou continue

 

 

 

 

 

SOMME et SOMMATION

 

Faire une addition, tout le monde connait. Lorsqu'il s'agit de définir correctement le processus d'addition, les choses se compliquent. Encore une coquetterie de mathématiciens … qui amène son lot de surprises.

 

 

Addition et somme

 

Définition

Au sens commun, l'addition des éléments de plusieurs ensembles consiste à compter tous les éléments  de ces ensembles, comme s'ils avaient été mis en commun dans un grand ensemble. Le compte final est appelé la somme.

Si la quantité d'éléments dans un ensemble est appelée son cardinal, alors:

 

Card(1) + Card(2) + Card(3) = Card de l'union des ensembles (1, 2 et 3).

 

 

Le paysan a 3 vaches dans un pré, 5 dans un autre et 2 dans le troisième. Il possède: 3 + 5 + 2 = 10 vaches.

 

La ménagère achète 3 carottes, 5 poireaux et 2 tomates. Elle a acheté: 3 + 5 + 2 = 10 légumes.

 

 

Méthode de calcul

On calcule indifféremment dans l'ordre que l'on veut avec les sommes partielles que l'on veut.

On dit que la somme est commutative et associative.

 

3 vaches  + 5 vaches + 2 vaches

= 5 vaches + 2 vaches + 3 vaches

= (3 vaches + 5 vaches)  + 2 vaches

= 8 vaches  + 2 vaches

= (3 vaches + 2 vaches) + 5 vaches

= 5 vaches + 5 vaches

Etc.

 

 

Symbole de somme d'une suite

 

Notation d'une suite de termes semblables

Somme de toutes les valeurs de xk pour k variant de 1 à n.

 

Exemple

 

Suite des nombres au carré jusqu'à 5.

 

Programmation avec boucle

La méthode la plus classique consiste à exécuter une boucle, un calcul itératif.

 

Algorithme

Programme générique (description de l'algorithme)

 

*    La mémoire S est initialisé avec la valeur 0.

*    Depuis n = 1 et jusqu'à n = 5, calculer n².

*    Ajoutez ce résulta à la mémoire S.

*    À la fin, affichez la valeur de la mémoire S.

 

Programme Maple

 

 

Programme adapté à une suite

Cette instruction additionne automatiquement les carrés des nombres de 1 à 5.

 

Programmation directe

La majorité des programmes de calcul mathématiques mettent une instruction spéciale à disposition.

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

Somme d'une suite infinie convergente

 

Exemple classique

Somme des inverses des factorielles.

 

On lit: la somme pour toutes les valeurs de k de 0 à l'infini de l'inverse de la factorielle de k est égale à la constante e qui vaut exponentielle de 1.

 

 

Somme des inverses des carrés

Voir Somme des entiers, inverses, … / Somme des inverses des puissances

 

 

 

Somme d'une suite infinie non convergente

Suite paradoxale

La suite harmonique est composée de termes qui tendent vers 0, et pourtant la somme infinie tend vers l'infini.

 

 

Exemple classique

Somme alternée de 1 et  – 1.

Pour formaliser les éléments de la suite, on porte -1 à la puissance qui convient. Le signe doit être positif pour les rangs impairs et négatifs pour les pairs.

 

 

S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1  - …

 

Maple donne la valeur 0,5 pour cette somme infinie.

 

Sommes diverses

Le résultat (la somme) diffère selon l'ordre des opérations.

 

 

S = (1 + 1 + 1 + …) – (1 + 1 + 1 + …) = 0

S = 1 – (1 – 1) – (1 – 1 ) - … = 1

S = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + 1 - …) = 1 – S

 

Commutativité et distributivité ne s'appliquent pas à ces suites infinies, au risque de produire des résultats disparates.

 

 

Somme partielles

On peut chercher à connaitre la valeur de la somme à chaque fois que l'on ajoute un terme

(Sk => 1, 0, 1, 0 …).

Le cumul donne:

(Ck => 1, 1, 2, 2 …).

Ce qui donne une contribution moyenne de chaque somme:

(Mk => 1, 1/2, 2/3, 2/4 …).

Prolongée à l'infini cette fraction tend vers 1/2.

 

 

 

On cherche à définir une contribution moyenne de chaque somme partielle. Si celle-ci converge vers une valeur limite, on attribue cette valeur limite à la suite infinie.

 

Le mathématicien Ernesto Cesaro (1859-1906) a proposé que cette limite soit une certaine mesure de la suite infinie.

 

 

Muni de cette méthode de sommation, Cesaro étend la notion de convergence et poursuit le travail mathématique avec elle.

 

C'est un réflexe habituel du mathématicien que de chercher à étendre son champ de travail.

 

Voir La suite qui rend très fou: 1 + 2 + 3 + … = -1/12; et encore plus fou …

 

 

Somme discrète ou continue

Nous venons de voir la somme appliquée à l'addition de nombres rationnels. La sommation sur les nombres réels est une intégrale.  Les Anciens approchaient ces sommes en prenant des nombres de plus en plus petits, les infinitésimaux. C'est Leibniz et Newton qui ont inventé le calcul différentiel conduisant au calcul intégral.

 

 

 

 

Suite

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*         Suites et séries

Autour

*         Addition – Initiation

*         La suite qui rend très fou: 1 + 2 + 3 + … = -1/12

*         Somme serpentin

*         Divisibilité par un nombre donné

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*         Cryptage

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*         Le calcul mental

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