NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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>>> Somme et produit des chiffres d'un nombre – Comparaison

>>> Les chiffres de la somme sont dans le produit

>>> Produit = k fois somme des chiffres

>>> Puissance des chiffres de nombres en couple

>>> Somme des chiffres d'un nombre à une puissance

 

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Caractérisation

>>> Premier type

>>> Deuxième type

>>> Troisième type

>>> Quatrième type

>>> Bilan

 

 

 

Nombres et

leurs chiffres en puissance

 

 

Trouvez des égalités entre deux nombres et la somme des puissances de leurs chiffres.

 

Exemples

136 = 23 + 43 + 43           &   244 = 13 + 33 + 63    

919 = 13 + 43 + 53 + 93   & 1459 = 93 + 13 + 93 

ou encore

193 =   6 859      &   6 + 8 + 5 + 9        = 28

283 = 21 952      &   2 + 1 + 9 + 5 + 2 = 19

 

 

 

 

APPROCHE

 

*      On connaît les nombres narcissiques comme 153, 171, 1634 …. Ici, nous allons nous intéresser aux couples narcissiques

 

*      Trouver un couple de nombres tel que:

*  la somme des puissances des chiffres de l'un

soit égale

*  à la somme des puissances des chiffres de l'autre.

*      On peut imaginer d'autres égalités.

 

 

Narcissique

153 = 13 + 53 + 33

 

Exemples

23 et 139

23 + 33 = 1 + 3 + 9 = 13

 

21 et 322

24 + 14 = 32 + 22 + 22 = 17

 

136    = 23 + 43 + 43          

& 244 = 13 + 33 + 63    

 

 

 

CARACTÉRISATION des diverses égalités

 

*      Deux nombres ayant jusqu'à trois chiffres.

 

*      La somme de leurs chiffres à une certaine puissance.

SA = ap + bp + cp

SE = eq + fq + gq

*      Premier type de recherche.

Égalité de la somme des chiffres en puissance.

SA = SE

*      Deuxième type de recherche.

Somme des chiffres en puissance de l'un égale à l'autre nombre.

A = SE   &   E = SA

 

*      Deux nombres ayant jusqu'à trois chiffres portés à puissance p pour l'un et q pour l'autre.

*      La somme de leurs chiffres à une certaine puissance.

SAa = rp + sp + tp + …

SEb = uq + vq + xq + … 

*      Troisième type de recherche.

Somme des de l'un à une puissance égale à l'autre nombre.

SAa = SEb

*      Quatrième type de recherche.

Somme des de l'un à une puissance égale à l'autre nombre.

A = SEb   &   E = SAa

 

 

Illustration

 

 

PREMIER TYPE  SA = SE

 

*      En se limitant à trois chiffres pour chacun des nombres A et E, il existe 69 772 solutions dont 5 222 non triviales, mais y compris les permutations possibles.

 

Exemples au hasard

12  et 14 => 14 +  24 = 12 + 42 = 17
21  et 14 => 24 +  14 = 12 + 42 = 17

22 et 44 => 24 + 24 = 42 + 42 = 32

192 et 378 => 14 + 94 + 24 = 34 + 74 + 84 = 6 578

999 et 603 => 92 + 92 + 92 = 63 + 03 + 33 = 243

921 et 763 => 94 + 24 + 14 = 74 + 64 + 34 = 6 578

Vous noterez que ces égalités restent valables si on permute les chiffres: 94 + 24 + 14 = 14 + 94 + 24

 

Exemples triviaux

998 et 989 => 9  + 9   + 8  = 9  + 8   + 9  =     26

998 et 989 => 92 + 92 + 82 = 92 + 82 + 92 =   226

998 et 989 => 93 + 93 + 83 = 93 + 83 + 93 = 1970

Si la somme des entiers est égal, normal que les sommes des mêmes puissances soient égales.

 

Il est possible de former une telle égalité avec pratiquement tous les nombres et en plusieurs motifs. Les nombres suivants font exception: 10, 11, 16, 20, 26, 30, 37, 40, 46, 50, 60, 61, 62, 64, 68, 70, 73, 79, 80, 86, 89, 90, 97, 98, 100, 101 …

 

 

 

Deuxième typeA = SE   &   E = SA

 

136 = 23 + 43 + 43                         &   244 = 13 + 33 + 63    

919 = 13 + 43 + 53 + 93                 & 1459 = 93 + 13 + 93 

 

2 178 = 64 + 54 + 14 + 44              &  6 514 = 24 + 14 + 74 + 84

 

58 618 = 75 + 65 + 45 + 35 + 85    & 76 438 = 55 + 85 + 65 + 15 + 85

 

Voici le bilan en tableau (vous y reconnaissez les couples cités ci-dessus)

*      En colonne la quantité de chiffre dans les nombres; et

*      En ligne la puissance appliquée aux chiffres.

*      En rouge les motifs en couple; en noir, les narcissiques.

 

 

 

Troisième typeSAa = SEb

 

CUBES

 

*      Égalité de la somme des chiffres des cubes.

*      Il existe une infinité de cas triviaux du type:

 

2 => 23 = 8              & 200 => 2003 = 8 000 000 => 8

 

*      Moins banal:

 

2 => 23 = 8              &   5 =>   53 = 125  => 8

2 => 23 = 8              &   8 =>   83 = 512  => 8

3 => 33 = 27 => 9   &   6 =>   63 = 216  => 9

 

  9 =>   93 =    729 => 18   &   81 =>   813 = 531 441  => 18

12 => 123 = 1728 => 18   &   24 =>   243 =   13 824  => 18

12 => 123 = 1728 => 18   &   48 =>   483 = 110 592  => 18

 

*      Tous les nombres jusqu'à 1000 dont la somme des chiffres du cube est égale à 18:

 

*      Pour tout couple de deux de ces nombres notre égalité est vraie.

 

*      Cette propriété n'est pas propre au nombre 18; les nombres 10, 17, 18 19 sont prolixes en telles égalités:

 

  4 =>   43 =     64 => 10   &      7 =>     73 = 343     => 10

 

14 => 143 = 2 744 => 17   &   17 =>   173 =   4 913 => 17

14 => 143 = 2 744 => 17   &   23 =>   233 = 12 167 => 17

 

  9 => 93 =      729 => 18   &   12 =>   123 =    1 728 => 18

  9 => 93 =      729 => 18   &   15 =>   153 =    3 375 => 18

 

13 => 133 = 2 197 => 19   &   16 =>   163 =   4 096 => 19

13 => 133 = 2 197 => 19   &   22 =>   223 = 10 648 => 19

13 => 133 = 2 197 => 19   &   25 =>   253 = 15 625 => 19

 

19 => 193 = 6 859 => 28   &   31 =>   313 = 29 791 => 28

 

 

 

Quatrième typeA = SEb   &   E = SAa

 

Carrés

 

 

Cubes

 

 

Bicarrés

 

 

Puissance 5

 

 

132 = 169      &   1 + 6 + 9 = 16

16² = 256      &   2 + 5 + 6 = 13

 

193 =   6 859      &   6 + 8 + 5 + 9        = 28

283 = 21 952      &   2 + 1 + 9 + 5 + 2 = 19

 

184 = 104 976    &   1+0+4+9+7+6    = 27

274 = 531 441    &   5+3+1+4+4+1    = 18

 

235 =   6 436 343 &       6+4+3+6+3+4+3  = 29

295 = 20 511 149 &   2+0+5+1+1+1+4+9 = 23

 

315 = 28 629 151 &   2+8+6+2+9+1+5+1 = 34 

345 = 45 435 424 &   4+5+4+3+5+4+2+4 = 31

 

Puissance 6

 

Puissance 7

 

 

 

 

Puissance 8

 

Puissance 9

 

 

/

 

38 & 47 => 114415582592, 506623120463

44 & 62 => 319277809664, 3521614606208

46 & 55 => 435817657216, 1522435234375

56 & 65 => 1727094849536, 4902227890625

Coquetterie avec chiffres retournés

64 & 73 => 281474976710656, 806460091894081

 

35 & 80 => 78815638671875, 134217728000000000

 

 

Puissances croisées

255, 408,
9765625, 6553600000000

 

Rappel: cela veut dire que la somme des chiffres de 976… est égale à 40 et celle de 655… est égale à 25.

 

255, 4011,
9765625, 419430400000000000

466, 647,
9474296896, 4398046511104

729, 9910,
51998697814228992, 90438207500880449001

739, 9110,
58871586708267913, 38941611811810745401

629, 7111,
13537086546263552, 231122292121701565271

5210, 7013,
144555105949057024, 968890104070000000000000

6311, 9013, 62050608388552823487,
25418658283290000000000000

6311, 9015, 62050608388552823487,
205891132094649000000000000000

6311, 9016, 62050608388552823487,
18530201888518410000000000000000

8111, 9018, 984770902183611232881,
150094635296999121000000000000000000

 

 

 

Bilan

À la recherche de pépites avec les chiffres des couples de nombres portés à une puissance, les trouvailles sont rares. Elles ne sont guère plus nombreuses que celles indiquées en introduction.

 

Par contre, lorsqu'il s'agit de l'égalité entre un nombre et la somme des chiffres de la puissance d'un autre, la moisson est plus fructueuse.

 

 

 

 

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