NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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1 / (1 - x)

De Martin-Löf

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xk / (xk – 1)

Engel

Kempner

1 – 1 + 1 – 1 +

 

 

Sommaire de cette page

>>> Suite Aliquote

>>> Boucles

>>> Nombres aspirants: programmation

>>> Propriétés

>>> Cas des Cinq de Lehmer

>>> Antécédent

>>> Anglais

 

 

 

 

SUITES ALIQUOTES

 

Où il est question de la suite des diviseurs d'un nombre et de leurs sommes à répétition.

 

Un nombre touchable T est un nombre dont il existe au moins un nombre N avec une somme de diviseurs stricts égale à T. Le nombre N est l'antécédent de T. Un nombre T peut avoir plusieurs antécédents: objet de cette page. Le nombre 21, par exemple a trois antécédents: 18, 51 et 91.

 

Un nombre intouchable est un nombre qui n'a aucun antécédent. Les nombres 2, 5, 52 et 88, par exemple, sont intouchables.

 

Voir DicoMots Maths – Suites et Séries

 

 

DÉFINITION – SUITE ALIQUOTE

 

Rappel

 

·      Les parties aliquotes de n sont ses diviseurs propres, c'est-à-dire tous ses diviseurs sauf n lui-même.

 

·      La somme des diviseurs d'un nombre n se nomme  (n) qui se lit sigma de n. Sa petite sœur, la somme aliquote,  ' (n) est la somme des diviseurs sans compter le nombre n lui-même (parties aliquotes).

 

                                   (12) =     1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28

                                 ' (12) =     1 + 2 + 3 + 4 + 6          = 16

 

Suite aliquote de n

 

·        Suite de nombres formée de la somme aliquote de n, puis de la somme aliquote de ce nombre, puis la somme aliquote de ce nombre, etc.

 

Exemple pour n = 12

                                  ' (12) =     1 + 2 + 3 + 4 + 6        = 16

                                  ' (16) =     1 + 2 +  4 +  8             = 15

                                  ' (15) =     1 + 3 +  5                    =   9

                                  ' (  9) =     1 + 3                            =   4

                                  ' (  4) =     1 + 2                            =   3

                                  ' (  3) =     1                                  =   1

 

Exemple pour n = 20

                                  ' (20) =     1 + 2 + 3 + 5 + 10      = 22

                                  ' (22) =     1 + 2 + 11                   = 14

                                  ' (14) =     1 + 2 + 7                     = 10

                                  ' (10) =     1 + 2 + 5                     =   8

                                  ' (  8) =     1 + 2 + 4                     =   7

                                  ' (  7) =     1                                  =   1

 

 

 

 

 

BOUCLES

 

·      En commençant par un nombre parfait, la suite stagne!

6 => 1 + 2 + 3 = 6

6 => ...

 

·      En commençant par un nombre amiable, la suite boucle:

220, 284, 220, 284, . . .

 

·      Toute chaîne amiable connue est l'extrémité d'une suite aliquote.

 

·      Il existe d'autres boucles: les chaînes sociables ou cycles aliquotes.

14288, 15472, 14536, 14264, 12496  . . .

 

·      Il existe aussi des suites aliquotes qui se terminent par un nombre parfait:

Exemple:

Le nombre de départ est un nombre aspirant.

 

Liste des nombres aspirants: 6, 25, 28, 95, 119, 143, 417, 445, 496, 565, 608, 650, 652, 675, 685, 783, 790, 909, 913, 1177, 1235, 1294, 1441, 1443, 1574, 1595, 1633, 1715, 1717, 1778, 2162, 2173, 2195, 2225, 2387, 2541, 2581, 2582, 2725, 2863, 3142, 3277, 3311, 3337, 3575, 3693, 3899, 3999, 4141, 4317, 4535, 4717, 4739, 4763, 4775, 4897 

(en rouge, les nombres parfaits)  OEIS 063769

 

 

En bilan:

Les boucles forment:

·       les nombres parfaits (boucle de longueur 1);

·       les nombres amiables ((longueur 2); ou,

·       les chaînes sociables (longueur n).

·       Les nombres aspirants (qui bouclent sur un nombre parfait).

 

 

 

Nombres aspirants: programmation Maple

haut

 

But

Lister les nombres aspirants y compris les nombres parfaits.

 

Commentaires

Boucle d'exploration des nombres de 1 à 1000.

Boucle d'itérations de la suite aliquote.

Calcul de la somme (n) des diviseurs propres.

Si n est un nombre parfait, il est enregistré dans la liste L et la boucle est interrompue (break).

Demande d'impression de la liste en toute fin de programme.

 

Remarque

Amélioration possible en détectant deux fois de suite le même résultat.

Ajouter une alarme si la quantité d'itérations dépasse 100.

 

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

PROPRIÉTÉS

 

·      Il existe encore des inconnues.
Voici tous les nombres inférieurs à 2 000 pour lesquels on ne connaissait pas comment se termine la séquence vers l'an 2000:

 

276, 552, 564, 660, 966,

1074, 1134, 1464, 1476, 1488,

1512, 1560, 1578, 1632, 1734, 1920, 1992.

 

En 2010, au moins les nombres noté en rouges sont encore sous investigation.

 

·      On connaît une suite qui augmente pendant plus de 5000 termes.

 

Conjecture de Catalan-Dickson: toute suite aliquote se termine soit en une boucle soit finit par atteindre 1 en un nombre fini d'étapes.

 

·      Certaines suites aliquotes peuvent croître, en moyenne, à l'infini. D'autres rejoignent une chaîne amiable et tournent indéfiniment en boucle.

 

·      De nombreuses suites aliquotes aboutissent à la paire amiable de Paganini, 1184 et 1210. Catalan, puis Dickson, conjecturèrent que ces suites sont bornées. Pourtant, d'après Guy, certaines suites, peut-être même toutes celles partant d'un nombre pair, vont à l'infini.

 

 

Conjecture de Garambois n°1: Une suite aliquote démarrant sur un entier pair a une chance sur 3 de croître indéfiniment.

Voir Suites aliquotes par Jean-Luc Garambois

 

 

 

CAS des Cinq de Lehmer

 

·      Le nombre 276 est le plus petit nombre dont la destination finale est inconnue.

 

·      Après 469 étapes, on obtient un nombre de 45 chiffres:

 

149 384 846 598 254 844 243 905 695 992 651 412 919 855 640

 

·      Il existe cinq nombres dont on ne connait pas encore la destinée: les Cinq de Lehmer: 276, 552, 564, 660, 966.

 

Voir Les cent premières itérations

 

 

 

ANTÉCÉDENT

 

                                 '  (12) =    16

 

·      Si 16 est la somme aliquote de 12.
On dit que 12 est l'antécédent aliquote de 16.

 

·      Tout nombre possède une somme aliquote. Mais, est-ce que tout nombre possède un antécédent.
Eh, bien non!
Ces nombres particuliers sont intouchables.

D'autres nombres sont l'antécédent de plusieurs nombres.

 

Records de quantité d'antécédents: nombres hautement touchables

Exemple: le nombre 6 est la somme aliquote de 6 et de 25, soit deux valeurs; le nombre 21 est la plus petite somme aliquote de trois nombres. 

3,   1, [4]

6,   2, [6, 25]   Notez que 6 est un nombre parfait

21, 3, [18, 51, 91]

31, 5, [32, 125, 161, 209, 221]

49, 6, [75, 215, 287, 407, 527, 551]

73, 8, [98, 175, 335, 671, 767, 1007, 1247, 1271]

91, 9, [581, 869, 1241, 1349, 1541, 1769, 1829, 1961, 2021]

115, 10, [545, 749, 1133, 1313, 1649, 2573, 2993, 3053, 3149, 3233]

121, 13, [243, 791, 1199, 1391, 1751, 1919, 2231, 2759, 3071, 3239, 3431, 3551, 3599]

169, 15, [363, 575, 815, 1727, 2567, 2831, 4031, 4247, 4847, 5207, 6431, 6527, 6767, 6887, 7031]

Suivants: 211, 301, 331, 391, 421, 511, 631, 721, 781, 841, 1051, 1261, 1471, 1651, 1681, 1891, 2101, … >>>

 

Records des antécédents

Quel est le plus petit nombre qui a un antécédent donné ?

Le nombre 3 est l'antécédent aliquote de 4 et c'est le plus petit. Le nombre 4 est celui de 9. La somme des diviseurs de 9 (hors 9) est  1 + 3 = 4.

Liste

[1, 2], [3, 4], [4, 9], [6, 6], [7, 8], [8, 10], [9, 15], [10, 14], [11, 21], [12, 121], [13, 27], [14, 22], [15, 16], [16, 12], [17, 39], [18, 289], [19, 65], [20, 34], [21, 18], [22, 20], [23, 57], [24, 529], [25, 95], [26, 46], [27, 69], [28, 28], [29, 115], [30, 841], [31, 32], [32, 58], [33, 45], [34, 62], [35, 93], [36, 24], [37, 155], [39, 217], [40, 44], [41, 63], [42, 30], [43, 50], [44, 82], [45, 123], [46, 52], [47, 129], [49, 75], [50, 40], [51, 141], [53, 235], [54, 42], [55, 36], [56, 106], [57, 99], [58, 68], [59, 265], [61, 371], [62, 118], [63, 64], [64, 56], [65, 117], [66, 54], [67, 305], [69, 427], [70, 134], [71, 201], [73, 98], [74, 70], [75, 213], [76, 48], [77, 219], [78, 66], [79, 365], [81, 147], [82, 158], [83, 237], [85, 395], [86, 166], [87, 105], [89, 171], [90, 78], [91, 581], [92, 88], [93, 267], [94, 116], [95, 445], [97, 245], [100, 124]

 

 

English Corner

 

                                   (n) =       Divisor function

                                 ' (n) =       Restricted divisor function

 

 

·      The aliquot sequence starting from n is defined as follows:

·       let sigma(n) be the sum of divisors of n,

·       then one simply computes f(n) =sigma(n) – n,

·       and one iterates.

·        

·      Aliquot sequences arise in iterating the sum-of-divisors function, which assigns to a positive integer the sum of its proper divisors (i.e., excluding the number itself). An aliquot sequence thus starts with a positive integer n, followed by s(n), then s(s(n)), etc.

 

·      Cycles of length 1 come from perfect numbers.
Cycles of length 2 are called amicable numbers.
Cycles of length n are called sociable numbers.

 

 

 

 

 

Contexte

·    Chaîne aliquote

·    Suite aliquote

·    Nombre touchables ou intouchables

·    Table des suites aliquotes de 1 à 1000

Voir

·    Énigmes en séquence

·    Suite qui rend fou

·    Diviseurs – Développements

DicoNombre

·    Nombre 12

·    Nombre 20

·    Nombre 276

·    Nombre 12 496

Site

·      Suites aliquotes par Jean-Luc Garambois – Site très complet sur le sujet.

·      Suite aliquote et Aliquot sequence – Wikipedia

·      Aliquot Sequence – Wolfram MathWorld

·      Aliquot Sequence – GeeksforGeeks – Programmes Python, Java et C

·      Lehmer five – Aliquot-Seiten

·      OEIS A115350 – Termination of the aliquot sequence starting at n

·    OEIS A080907 – Numbers whose aliquot sequence terminates in a 1

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Suite/Suiteali.htm