NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Suite Aliquote

>>> Boucles

>>> Propriétés

>>> Cas du nombre 276

>>> Antécédent

>>> Anglais

 

 


 

SUITES ALIQUOTES

 

Où il est question de la suite des diviseurs d'un nombre et de leurs sommes à répétition.

Voir DicoMots Maths – Suites et Séries

 

 

DÉFINITION – SUITE ALIQUOTE

 

Rappel

 

*      Les parties aliquotes de n sont ses diviseurs propres, c'est-à-dire tous ses diviseurs sauf n lui-même.

 

*      La somme des diviseurs d'un nombre n se nomme  (n) qui se lit sigma de n. Sa petite sœur, la somme aliquote,  ' (n) est la somme des diviseurs sans compter le nombre n lui-même (parties aliquotes).

 

                                   (12) =     1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28

                                 ' (12) =     1 + 2 + 3 + 4 + 6          = 16

 

Suite aliquote de n

 

*        Suite de nombres formée de la somme aliquote de n, puis de la somme aliquote de ce nombre, puis la somme aliquote de ce nombre, etc.

 

Exemple pour n = 12

                                  ' (12) =     1 + 2 + 3 + 4 + 6        = 16

                                  ' (16) =     1 + 2 +  4 +  8             = 15

                                  ' (15) =     1 + 3 +  5                    =   9

                                  ' (  9) =     1 + 3                            =   4

                                  ' (  4) =     1 + 2                            =   3

                                  ' (  3) =     1                                  =   1

 

Exemple pour n = 20

                                  ' (20) =     1 + 2 + 3 + 5 + 10      = 22

                                  ' (22) =     1 + 2 + 11                   = 14

                                  ' (14) =     1 + 2 + 7                     = 10

                                  ' (10) =     1 + 2 + 5                     =   8

                                  ' (  8) =     1 + 2 + 4                     =   7

                                  ' (  7) =     1                                  =   1

 

 

 

 

 

BOUCLES

 

*      En commençant par un nombre parfait, la suite stagne!

6 => 1 + 2 + 3 = 6

6 => ...

 

*      En commençant par un nombre amiable, la suite boucle:

220, 284, 220, 284, . . .

 

*      Toute chaîne amiable connue est l'extrémité d'une suite aliquote.

 

*      Il existe d'autres boucles: les chaînes sociables ou cycles aliquotes.

14288, 15472, 14536, 14264, 12496  . . .

 

En bilan:

Les boucles forment:

*       les nombres parfaits (boucle de longueur 1);

*       les nombres amiables ((longueur 2); ou,

*       les chaînes sociables (longueur n).

 

 

 

 

 

PROPRIÉTÉS

 

*      Il existe encore des inconnues.
Voici tous les nombres inférieurs à 2 000 pour lesquels on ne connaissait pas comment se termine la séquence vers l'an 2000:

 

276, 552, 564, 660, 966,

1074, 1134, 1464, 1476, 1488,

1512, 1560, 1578, 1632, 1734, 1920, 1992.

 

En 2010, au moins les nombres noté en rouges sont encore sous investigation.

 

*      On connaît une suite qui augmente pendant plus de 5000 termes.

 

Conjecture de Catalan-Dickson: toute suite aliquote se termine soit en une boucle soit finit par atteindre 1 en un nombre fini d'étapes.

 

*      Certaines suites aliquotes peuvent croître, en moyenne, à l'infini. D'autres rejoignent une chaîne amiable et tournent indéfiniment en boucle.

 

*      De nombreuses suites aliquotes aboutissent à la paire amiable de Paganini, 1184 et 1210. Catalan, puis Dickson, conjecturèrent que ces suites sont bornées. Pourtant, d'après Guy, certaines suites, peut-être même toutes celles partant d'un nombre pair, vont à l'infini.

 

 

Conjecture de Garambois n°1: Une suite aliquote démarrant sur un entier pair a une chance sur 3 de croître indéfiniment.

Voir Suites aliquotes par Jean-Luc Garambois

 

 

 

CAS du nombre 276

 

*      Le nombre 276 est le plus petit nombre dont la destination finale est inconnue.

 

*      Après 469 étapes, on obtient un nombre de 45 chiffres:

 

149 384 846 598 254 844 243 905 695 992 651 412 919 855 640

 

 

 

ANTÉCÉDENT

 

                                 '  (12) =    16

 

*      Si 16 est la somme aliquote de 12.
On dit que 12 est l'antécédent aliquote de 16.

 

*      Tout nombre possède une somme aliquote. Mais, est-ce que tout nombre possède un antécédent.
Eh, bien non!
Ces nombres particuliers sont intouchables.

D'autres nombres sont l'antécédent de plusieurs nombres.

 

 

 

English Corner

 

                                   (n) =       Divisor function

                                 ' (n) =       Restricted divisor function

 

 

*      The aliquot sequence starting from n is defined as follows:

*       let sigma(n) be the sum of divisors of n,

*       then one simply computes f(n) =sigma(n) – n,

*       and one iterates.

*        

*      Aliquot sequences arise in iterating the sum-of-divisors function, which assigns to a positive integer the sum of its proper divisors (i.e., excluding the number itself). An aliquot sequence thus starts with a positive integer n, followed by s(n), then s(s(n)), etc.

 

*      Cycles of length 1 come from perfect numbers.
Cycles of length 2 are called amicable numbers.
Cycles of length n are called sociable numbers.

 

 

 

 


 

Contexte

*    Chaîne aliquote

*    Suite aliquote

Voir

*    Énigmes en séquence

*    Suite qui rend fou

*    Diviseurs – Développements

DicoNombre

*    Nombre 12

*    Nombre 20

*    Nombre 276

*    Nombre 12 496

Site

*    Suites aliquotes par Jean-Luc Garambois – Site très complet sur le sujet.