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Histoire des maths

 

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Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Histoire

 

Introduction

Duplication du cube

Trisection de l'angle

Segment de parabole

Quadrature du cercle

Heptagone

 

Sommaire de cette page

>>> Duplication du cube

>>> Historique

>>> Équation

>>> Rationnel ?

 

 

 

 

 

 

DUPLICATION DU CUBE

 

Problème de Délos

Problème délien ou déliaque

Problème de l'autel d'Apollon

 

Où est en jeu la nature de ce nombre:      = 1,259 921 049 894 873 164 76...

Voir Table des racines / Racines

 

 

 

DUPLICATION DU CUBE

 

Trouver le volume doublé du cube revient à déterminer la racine cubique de deux.

Cette opération est impossible avec la règle et le compas.

 

En cherchant (et en trouvant) des solutions utilisant les intersections de cônes, de cylindres et de tores, les Grecs découvrirent les sections coniques, paraboles et hyperboles et même les conchoïdes et les cissoïdes.
 

 

 

HISTORIQUE

 

Athènes 430 av. J.-C.

 

Les habitants de l'île de Délos souffrent de fièvre. Ils veulent que cesse l'épidémie de peste ruinant le pays. L'oracle leur recommande de doubler le volume de leur autel cubique, dédié à Apollon.


De nombreuses tentatives furent des échecs. Et, la peste redoublait. Alors, ils allèrent chercher les conseils de Platon.

 

Platon ne trouva pas la solution (bien sûr). Il prétendait qu'Apollon n'avait pas besoin d'un nouvel autel, mais que cette demande signifiait plutôt qu'il fallait s'intéresser à la géométrie.

 

Racontée par Philoponus, et rapportée par Ératosthène

Ou par Plutarque (50 - 125 av. J.-C.) dit Larousse

 

 

 

Ensuite …

Déterminer un cube dont le volume est le double d'un cube donné: impossible à la règle et au compas. Cela revient à construire la racine cubique de 2.

 

Au IVe siècle av. J.-C. Ménechme s'attaque au problème et découvre les coniques.

Il a une solution, mais en changeant les règles du jeu:

Un cône rectangle (angle droit au sommet) et cône obtus.

Coupés par un plan perpendiculaire à l'une de leur génératrices (droites issues du sommet et s'appuyant sur la base).

Production de deux courbes, une parabole et une hyperbole.

Celles-ci, par leurs intersections, délimitent un segment dont la longueur est la racine cubique de 2.

 

Abordé par  Descartes en 1637

Puis par Gauss (1777 - 1855)

C'est Wantzel (1814 - 1848) en 1837 qui démontre que ce problème, comme celui de la trisection de l'angle, n'a pas de solution.

De nombreuses courbes ont été construites pour tenter de résoudre ce problème.


 

 

 

 

ÉQUATION

Cube initial                          

 

 

·           longueur du côté:

a

= 1

·           volume:

v = a3

= 1

Cube désiré

 

 

·           longueur du côté:

x

= ?

·           volume: double de "initial":

V = x3

= 2v = 2

Équations

x3

x

= 2

=

 

 

Solutions rationnelles ?

·         Supposons que x est rationnel, alors:

= p/q

·         En remplaçant dans l'équation.

(p/q)3

= 2

 

p3 

= 2q3

·         Un cube est un nombre multiplié trois fois par lui-même. Donc, le nombre des facteurs premiers (Nfp) d'un cube est divisible par 3.

  Exemple

53 = 125

 

= 5 x 5 x 5

Trois facteurs premiers

·         Pour le premier membre: cube pur.

p3 

=> Nfp est divisible par 3.

·         Pour le deuxième membre:
cube multiplié par 2.

2q3

=> Nfp' = N'est PAS divisible par 3.

·         L'égalité ne peut pas être satisfaite.

     La supposition est fausse.

x n'est par rationnel.

 Il n'est pas possible de doubler le cube par construction

 

 

 

Suite

*         Trisection de l'angle

Voir

*         Doubler le carré

*         Règle et compas

*         Transcendant

*         Histoire

*         Hilbert

Sites

*         Duplication du cube selon Ménechme et selon Ératosthène par Serge MEHL

*         Panoplie du constructible Pierre Delezoïde - Lycée Buffon - Paris XV

*         Doubling the cube by J J O'Connor and E F Robertson

*         Duplication of the cube by Francois Rivest and Stephane Zafirov (très complet)

*         Impossible Geometric Constructions  Ask Dr. Math

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Histoire/Duplcube.htm