NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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HISTOIRE – Géométrie

 

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Constructions

 

Géométrie

 

Histoire

 

Introduction

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Trisection de l'angle

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Sommaire de cette page

>>> Bissection de l'angle

>>> Équation pour la trisection

>>> Construction à l'équerre

>>> Construction avec règle et marques (neusis)

>>> Construction de l'angle triple

 

 

 

 

   

La trisection de l'angle

 

Un des trois célèbres problèmes de construction de l'Antiquité.

La construction est réalisée avec règle sans graduation et compas uniquement. En général, la construction est impossible, sauf pour quels angles particuliers comme 180°, 90° … (accessible à travers le tracé de l'hexagone)

 

 

BISSECTION DE L'ANGLE – Rappel

 

Comment partager un angle en deux angles égaux. La demi-droite qui partage l'angle est la bissectrice

Cette opération est classique et très facile à réaliser avec un compas.
 

Du sommet de l'angle, tracez un cercle. à partir de chacun des points d'intersection dessinez un cercle identique (qui peut être différent du tout premier).

 

Suite en  Bissection

 

 

Équation pour la trisection

 

Comment partager un angle en trois angles égaux. Là, la difficulté est très grande.

Voici une idée de la démonstration en faisant l'hypothèse d'un angle de 20°

 

Calculons en général

cos(3a)

= cos(a) cos(2a) – sin(a) sin(2a)

 

 

= cos(a) (cos2(a) – sin2(a)) – 2sin2(a) cos(a)

 

 

= cos(a) (2cos2(a) – 1) – 2(1 – cos2(a)) cos(a)

 

 

= 4cos3(a) – 3cos(a)

Prenons le cas particulier de

a

= 20o

 

cos(3a)

= cos(60o) = 1/2

L'équation, dans ce cas, devient

1/2

= 4cos3(a) – 3cos(a)

 

0

= 8cos3(a) – 6cos(a) – 1

En remplaçant

cos(a)

= x

 

0

= 8x3 – 6x – 1

Soit l'équation, avec v = 2x

0

= v3 – 3v – 1

 

 

Solution de l'équation ?

 

On cherche à savoir si les racines de cette équation sont rationnelles.

Démonstration en  1837 par Pierre Laurent Wantzel (1814-1848).

 

Supposons que Oui, alors

= p/q  fraction minimale (simplifiée)

En remplaçant dans l'équation

0

= (p/q)3 – 3(p/q) – 1

En multipliant par q3

0

= p3 – 3pq2 – q3 

En reformulant

q3 

= p3 – 3pq2

 

 

= p (p² – 3q²)

On déduit que

p est

divisible par q3

Conséquence

p est

divisible par q

Impossible

p/q

est une fraction irréductible par hypothèse

Et en factorisant avec p3 

p3 

=  3pq2 + q3 

 

 

= q (3p + q²)

On déduit que

q est

divisible par p3

Conséquence

q est

divisible par p

Impossible

p/q

est une fraction irréductible par hypothèse

La supposition est fausse

         v n'est par rationnel

Voir Constructions avec règle et compas

 

 

CONSTRUCTION avec ÉQUERRE seule

 

La construction à la règle et au compas n'est donc pas possible. Mais, voici une construction assez pratique.

 

1) Posez des repères sur l'équerre

On marque Q en prolongement du bord intérieur et R tel que PQ = QR.

 

 

 

 

2) Préparation

L'angle à partager en trois est l'angle BAC  (on note BAC ).

On construit la droite D.

 

 

 

 

 

 

3) Trisection

On oriente l'équerre pour avoir:

A sur le bord de l'équerre,

P sur la droite D,

et R sur la droite AB.

 

 

Alors:

  CAP = PAQ = QAR

= 1/3 CAB

 

Note: Il existe aussi une

CONSTRUCTION avec Conchoïde de Nicodème. Elle est plus compliquée et assez théorique.

 

Voir Équerre

 

 

CONSTRUCTION avec règle et marques (NEUSIS)

 

On autorise l'utilisation d'une règle sur laquelle il est possible de porter des marques.

 

L'angle à partager en trois est AOB.

 

En A, perpendiculaire à OA.

En B, parallèle à OA.

 

Sur la règle, on porte les marques M, N et P telles que MN = NP = OB.

 

La règle est déplacée de façon telle que:

*    M est sur AB,

*    P est sur la parallèle en B, et

*    la règle passe par O.

 

 

 

 

Cette méthode qui consiste à ajuster au mieux la règle sur les points désignés s'appelle neusis. Méthode très utilisée par les mathématiciens grecs. Ce mot en grec signifie: incliné vers.

 

 

 

Construction de l'angle triple

 

Construction

Soit un angle entre deux droites (ici, celles qui vont porter les points A, B et D). Construire l'angle triple.

*      Marquer les points A et C quelconques sur une des droites.

*      Avec un cercle de centre O et de rayon OA, marquez le point B sur la droite AB

*      Dressez la perpendiculaire en C qui coupe la droite AD en D (CD est médiatrice de AB)

*      Dessinez le cercle AD de centre A. La droite BD le coupe en E

*      L'angle FAE est le triple de l'angle BAD.

 

Démonstration

Le triangle ABD est isocèle par construction, l'angle au sommet vaut 180 – 2a avec a l'angle à la base.

Angle ADE = 180 – (180 – 2a) = 2a

Le triangle AED est isocèle (AE = AD = R)

Angle EAD = 180 – 2 (2a) = 180 – 4a

Angle FAE = 180 – (180 – 4a – a) = 3a

 

Notez

La construction du tiers d'angle est impossible; celle du triple est assez simple.

 

Illustration

 

 

Les triangles ABD et ADE sont isocèles

 

Construction semblable

*      Dessinez l'angle  (ici de 20°).

*      Sommet A et un point quelconque B.

*      Cercle de centre B et de rayon AB, coupe l'autre côté de l'angle en D.

*      Cercle de centre D et de rayon DB, coupe le premier côté de l'angle en C.

*      L'angle CDE est le triple de l'angle BAD.

 

Les deux parallèles dessinées en bleu permettent de ramener l'angle triple  sur l'angle initial.

 

La démonstration est identique à celle présentée ci-dessus.

 

Brève 376

 

 

 

 

Suite

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*  Trisection du carré

*  Trisection du carré par des paraboles

*  Trisection du segment

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*  Premiers de Pierpont

*  Règle et compas

*  Transcendant

Sites

*   Trisection de l'angle selon Thomas Ceva Serge MEHL (avec animations)

*   Panoplie du constructible Pierre Delezoïde - Lycée Buffon - Paris XV

*   Trisecting an angle by J J O'Connor and E F Robertson

*   Trisecting the Angle by Steven Dutch

*   Angle Trisection The Geometry Center

*   Impossible Geometric Constructions  Ask Dr. Math

*   Angle trisection – Wikimedia commons -  Liste de toutes les méthodes de trisection de l'angle (79)           

Livre

*   Le Dictionnaire Penguin des curiosités géométriques – David Wells - Eyrolles

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