NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 24/02/2009

-Ý- Rubrique: HISTOIRE ANTIQUITÉ
§ Introduction	§ Duplication du cube	§ Trisection de l'angle
§	§ Quadrature du cercle	§ Heptagone
Sommaire de cette page >>> BI & TRISECTION DE L'ANGLE >>> ÉQUATION pour la trisection >>> CONSTRUCTION à l'équerre		Pages voisines § Règle et compas § Transcendant § Histoire § Hilbert

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-Ý- BI & TRISECTION DE L'ANGLE

· Bissection · Trisection

Découper un angle quelconque en deux parts égales Découper un angle quelconque en trois parts égales

Bissection

• Découper un angle quelconque en deux parts égales est facile

• Pourquoi est-ce si difficile pour trois?

-Ý- ÉQUATION POUR trois

Idée de la démonstration avec un angle de 20°

· Calculons en général	cos(3a)	= cos(a)cos(2a) - sin(a)sin(2a)
		= cos(a)(cos^2(a) - sin^2(a)) - 2sin^2(a)cos(a)
		= cos(a)(2cos^2(a) - 1) - 2(1 - cos^2(a))cos(a)
		= 4cos^3(a) - 3cos(a)
· Prenons le cas particulier de	a	= 20^o
	cos(3a)	= cos(60^o) = 1/2
· L'équation, dans ce cas, devient	1/2	= 4cos^3(a) - 3cos(a)
	0	= 8cos^3(a) - 6cos(a) - 1
· En remplaçant	cos(a)	= x
	0	= 8x^3 - 6x - 1
· Avec v = 2x	0	= v^3 - 3v - 1

Voir Équation

Solutions rationnelles ?

· Supposons que Oui, alors	v	= p/q fraction minimale (simplifiée)
· En remplaçant dans l'équation	0	= (p/q)^3 - 3(p/q) - 1
· En multipliant par q^3	0	= p^3 - 3pq^2 - q^3
· En reformulant	q^3	= p^3 - 3pq^2
		= p (p² - 3q²)
· On déduit que	p est	divisible par q^3
· Conséquence	p est	divisible par q
· Impossible	p/q	est une fraction irréductible par hypothèse
· Et en factorisant avec p^3	p^3	=  3pq^2 + q^3
		= q (3p + q²)
· On déduit que	q est	divisible par p^3
· Conséquence	q est	divisible par p
· Impossible	p/q	est une fraction irréductible par hypothèse
· La supposition est fausse	v n'est par rationnel

En généralisant

Il n'est pas possible diviser un angle par construction

Démonstration en 1837 par Pierre Laurent Wantzel (1814-1848)

Règle et compas

-Ý- CONSTRUCTION À L'ÉQUERRE

§ La construction à la règle et au compas n'est donc pas possible

§ Mais, voici une construction assez pratique

1) Posez des repères sur l'équerre

On marque Q en prolongement du bord intérieur et R tel que PQ = QR

2) Préparation

L'angle à partager en trois est l'angle BAC - on note ÐBAC

On construit la droite D

3) Trisection

On oriente l'équerre pour avoir

A sur le bord de l'équerre

P sur la droite D

et R sur la droite AB

Alors ÐCAP = ÐPAQ = ÐQAR = 1/3 ÐCAB

Il existe aussi une

CONSTRUCTION avec Conchoïde de Nicodème

Elle est plus compliquée et assez théorique

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-Ý-	Voir	§ Géométrie - Index
	Sites	§ Trisection de l'angle selon Thomas Ceva Serge MEHL (avec animations) § Panoplie du constructible Pierre Delezoïde - Lycée Buffon - Paris XV § Trisecting an angle by J J O'Connor and E F Robertson § Trisecting the Angle by Steven Dutch § Angle Trisection The Geometry Center § Impossible Geometric Constructions Ask Dr. Math
	Livre	§ Le Dictionnaire Penguin des curiosités géométriques – David Wells - Eyrolles