NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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IDENTITÉS

 

Débutants

Somme

SOMMES de 1 à n

 

Glossaire

Inverse

 

 

INDEX

 

Identités

 

Index et Bases

Carrés

Cubes

2, 3, 5 …

Somme des inverses des carrés

Somme des puissances de 2 à 20

 

Sommaire de cette page

>>> Historique

>>> Point de situation

>>> Approximation de Bernoulli

>>> Convergence lente de S

>>> Démonstration d'Euler

>>> Démonstrations – Suite

>>> Somme des inverses des impairs et des pairs au carré

 

 

 

 

 

SOMMES des INVERSES des CARRÉS

avec nombres consécutifs

dit: problème de Bâle ou problème de Mengoli

 

 

Le problème de la convergence de cette série est souvent traité sur Internet. Il existe plusieurs démonstrations. Aucune n'est simple.

Sur cette page, la première démonstration d'Euler qui a le mérite de rester à un niveau raisonnable. Elle donne la solution même au prix d'une petite impasse formelle reconnue par Euler lui-même. 

Anglais: Sum of reciprocal squares / Basel problem /

Summing the infinite series of reciprocals of integers squared.

 

 

Historique

 

Au XIVe siècle, Oresme traite de la divergence de la série harmonique somme des inverses des entiers.

 

1644: Pietro Mengoli (1626-1686) pose la question: que vaut S? dans son livre: quadraturae arithmetica qui traite de la sommation des séries.

1664: John Wallis tente le calcul.

1691: Jacob Bernoulli (1654-1705) prouve que S < 2.  La famille Bernoulli est sur le coup, et aussi Leibniz, Stirling, de Moivre.

1731: Leonard Euler (1707-1763) trouve 6 décimales. Pas faciles à trouver, car la série converge très lentement.

1733: il calcule 20 décimales.

1735: il atteint une infinité de décimale en démontrant que S = Pi² / 6 dans son article: de summis serierum reciprocarum.

1741: il propose une démonstration rigoureuse.

1748: il publie: Introductio in analysin infinitorum (Introduction à l’analyse infinitésimale) qui restera une référence pendant près de cent ans.

1859: Bernhard Riemann (1826-1866) définit la fonction zêta et énonce son hypothèse concernant les nombres premiers.

 

Pourquoi problème de Bâle? Parce qu'Euler passa son enfance à Bâle et y suivit ses cours d'université.

 

 

Point de situation

 

Après les inverses des carrés, Euler a réussi à donner les formules pour les puissances paires. Déduire d'autres formules comme celle de la somme des inverses des impairs au carré est alors assez simple.

En 1978, Roger Apéry a prouvé que la somme pour les puissances impaires est irrationnelle. La manière d'obtenir la somme est toujours inconnue à ce jour.

Voir Tableau des valeurs

 

 

 

Approximation de Bernoulli

Il pose l'inégalité:

Il passe aux inverses:

Application pour majorer la somme S.

On savait à l'époque que:

Il en déduit que:

Il n'a pas réussi à aller plus loin et a écrit: si quelqu'un trouve et nous communique ce qui jusqu'à présent a échappé à nos efforts, grande sera notre gratitude.

Source: Leonhard Euler and the Basel Problem – Amber Emmel

 

 

Convergence (lente) de S

On imagine la patience d'Euler pour calculer ses 20 décimales de S en observant la lenteur de la convergence.

Avec 1000 termes, on n'obtient que 2 décimales et la fraction irréductible comporte déjà plus de 800 chiffres.

Euler utilise une formule faisant intervenir le développement connu de log(2) et une fonction qu'il a mise au point: le dilogarithme.

 

Tableau montrant la lente convergence

La fonction dilogarithme utilisée par Euler

 

 

La démonstration d'Euler

Développement de la fonction sinus x

Exemple de convergence avec ces trois termes.

 

Convergence d'autant plus rapide que x est petit.

sin (1/10)

Valeur= 0,09983341664682815

Calcul = 0,09983341664682539

 

sin (1/2)

Valeur= 0,47942553860

Calcul = 0,47942553323

Division par x
(en supposant x non nul):

Racines pour
(k un entier, non nul) :

   (le sinus s'annule pour 0, Pi, 2Pi …)

Polynôme ayant ces mêmes racines.
P(x) est nul si on remplace x par une valeur en
.

Identité remarquable pour chaque paire:

Exemple du développement du produit  avec trois termes en laissant tomber les termes de degré supérieur à 2.

Développement du produit en ne conservant que le terme en x²:

Comparaison au terme en x² du sinus:

Finalement:

 

Démonstration – Suite

On reproche à cette démonstration d'extrapoler les propriétés des polynômes finis aux polynômes infinis. Euler à néanmoins conforté ce résultat avec son calcul numérique sur 20 décimales. Six ans plus tard, il propose une démonstration sans faille.

Voir les sites en références pour d'autres démonstrations.

 

 

Somme des inverses des impairs et des pairs au carré

Somme pour tous les nombres:

Somme séparées pour les pairs et les impairs:

En sortante le facteur 2:

Le premier terme est connu:

Somme pour impairs

Somme pour pairs

 

Exemples avec n = 5

 

 

 

 

Suite

*    Somme des cubes

*    Impairs et différence de carrés

*    Somme de carrés – Tables

*    Divisibilité de la somme des puissances

Voir

*    Carrés

*    Constantes

*    Cubes

*    Factorielles et somme des entiers

*    Inverse – Définition

*    Isopérimètre

*    Nombres consécutifsIndex

*    PuissancesIndex

*    Somme des puissances

DicoNombre

*    Nombre 0,4112

*    Nombre 1,00099…

*    Nombre 1,2337…

*    Nombre 1,6449…

Sites

*    Problème de Bâle – Wikipédia

*    Une histoire des séries infinies – D'Oresme à Euler – Marc-Antoine Coppo – 2010

*    Leonhard Euler and the Basel Problem – Amber Emmel – 2013

*    Six Ways to sum a series – Dan Kalman – 1993

*    How Euler found the sum of reciprocal squares – A. Eremenko – 2013

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Identite/SomInvCa.htm