NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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CONSTANTES

 

Débutants

Nombres

RACINE de 2

√2 = 1, 41 42 …

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

 

Puissance

 

Décomposition

 

Général 

 

Introduction

Valeur

Propriétés

Géométrie

Historique

Calcul

Irrationnel

Doubler

 

Sommaire de cette page

>>> Racines carrées irrationnelles – Démonstrations

>>> Racines carrées pour tous les entiers

>>> Généralisation – Racine kième de n

>>> Anglais

 

 

 

 

 

RACINE de DEUX

est un nombre IRRATIONNEL

 

On disait incommensurable car il n'y a pas d'unité qui puisse mesurer à la fois 1 et 2. Aucune fraction de nombres entiers ne peut l'exprimer exactement. C'est un nombre dont les décimales sont infinies et non prédictibles sauf par calcul.

Comment démontrer que racine de deux est irrationnel?

 

Démonstration par l'absurde: P et Q devraient être pairs à la fois …

 

 

Irrationnels qui produisent du rationnel !

Voir Racines à étages

 

 Historique

Pythagore (–570 à –490) savait que  est irrationnel  >>>

Theodore de Cyrène (–465 à –398) a prouvé que la racine carrée des nombres de 3 à 17 est irrationnelle, sauf pour 4, 9 et 16.

 

 

  IRRATIONNEL – Démonstration par l’ABSURDE

Raisonnons par l'absurde et supposons

  rationnel

Étant rationnel, on peut l'écrire sous forme d'une fraction

= P/Q

On réduit la fraction au maximum

= M/N

M et N n'ont pas de diviseurs en commun

M et N premiers entre eux

Élevons au carré

2 = M² /N²

Ou

M² = 2 N²

Avec ce facteur 2, on déduit que

M² est pair

Or, un nombre élevé au carré, garde sa parité et réciproquement

M est pair

Écrivons que M est pair

M = 2K

On revient à l'expression au carré

M² = 2 N²     = (2 K)² = 4 K²

Ou, en divisant par deux de chaque côté

N² = 2 K²

Même raisonnement sur la parité avec N

N est pair et N = 2 J

Alors M et N ont un facteur commun

2 est facteur commun à M et N

La contradiction montre que l'hypothèse est

Fausse au départ

Et que

est irrationnel

 

 

IRRATIONNEL – Démonstration ARITHMÉTIQUE

Raisonnons par l'absurde et supposons

  rationnel

Fraction réduite au maximum

Cette fraction portée au carré

Elle est irréductible

 

 

 

Seules possibilités

Cf. Fraction irréductible

M² = 2

N² = 1

Or aucun nombre entier au carré ne donne 2

 2

Contradiction

   est irrationnel

 

IRRATIONNEL – Démonstration par inégalités

Raisonnons par l’absurde et supposons

  rationnel

Fraction réduite au maximum

Ce nombre est un entier

 avec N le plus petit possible

Inégalités

Multiplication par racine de 2

Selon notre hypothèse ce nombre est un entier

  est un entier, avec r plus petit que n

Rappel pour N

  est un entier, avec n le plus petit

Contradiction

   est irrationnel

 

 

IRRATIONNEL – Démonstration par fractions

Exprimons la racine de 2 sous cette forme

Ou plus généralement, si rationnel

Inégalités

Dénominateur de racine de 2 < q qui montre que q n’est pas la valeur minimale

   est irrationnel

Formulation qui est propice à une représentation géométrique avec un triangle isocèle rectangle de côté p et q puis un triangle homothétique de côté 2q – p et p – q.

On amorce alors une descente infinie de Fermat en poursuivant la construction sans fin en répétant le procédé.

 

Autre illustration de la descente infinie avec des rectangles.

*      Premier rectangle :    

*      Deuxième rectangle :

Même proportion longueur sur largeur:

En reconduisant le procédé, nous nous trouvons face à une nouvelle descente infinie.

 

 

 

Généralisation

IRRATIONNEL – Racine carrée de TOUS LES ENTIERS

 

La démonstration est un peu longue, car menée pas à pas.

Pour mieux apprécier et soulager l'effort d'abstraction, une indication numérique est donnée à droite.

 

PREMIÈRE ÉTAPE: hypothèse conduisant à une équation caractéristique et unique

Soit N un entier non carré

N  entier²

N = 1000 (exemple)

√1000 = 31,622…

Si la racine de N est rationnelle,

il existe une fraction

Telle que p et q n'ont pas de diviseurs communs

Ce qui veut dire que cette forme réduite de la fraction est unique

= p/q

p = q .

√N ≈  95/3 = 31,66…

Une approximation évidemment.

On ne peut pas simplifier davantage la fraction.

Nous aurons besoin de la valeur de p.

Notons-la tout de suite

p = q.

95 ≈  3 x 31, 622 = 94, 866

Au carré

p² = q².N

95² = 9025

≈ 3² x 1000 = 9000

Et mis en équation

Cette forme étant unique selon notre hypothèse,

Nous allons montrer qu'il existe deux autres nombres conduisant à une seconde expression de ce genre. Ce qui sera contraire à notre hypothèse. La contradiction permettra de conclure que cette hypothèse est fausse

p² – N.q² = 0

95² - 1000 x 3² = 25 ≈ 0

Toujours en approximation

 

DEUXIÈME ÉTAPE: introduction du nombre juste inférieur à la racine carrée

Il existe un nombre n tel que

n < –𝐍

31 < 31,622

 

TROISIÈME ÉTAPE: choix de deux nouveaux nombres, en utilisant la différence entre la racine et son entier inférieur

Choix des deux nombres qui vont soulever la contradiction.

Nous allons passer dans le monde des écarts entre la racine de N et le nombre n juste inférieur.

Premier nombre

p'

 

Écrivons la valeur de N en produit de fractions

Et remplaçons p/q par une valeur plus petite, n

N = (p/q) (p/q)

N >   (n)  (p/q)

1000 ≈ (95/3)(95/3)

1000 > 31 (95/3) = 981,6

En multipliant par q

N.q >  n.p

1000 x 3 >31 x 95

3000 > 2945

Notre premier nombre sera la différence positive issue de cette inégalité

p' = N.q – n.p

3000 2945 = 55

Deuxième nombre

q'

 

Évaluons l'excès positif entre la racine

et le nombre entier inférieur

 – n > 0

31,622 – 31 = 0, 622

Ou en remplaçant racine de N par sa valeur

supposée rationnelle

p/q – n > 0

95 / 3 – 31 = 0, 666

En multipliant par q

p – n.q > 0

95 – 31 x 3 = 2

Notre deuxième nombre sera cette différence

q' = p – n.q

 

Bilan: nos deux nombres sont là

p' = N.q -  n.p

q' = p – n.q

55

2

 

QUATRIÈME ÉTAPE: utilisation des deux nouveaux nombres pour soulever une contradiction qui montre que l'hypothèse de départ est erronée

Revenons à l'expression avec les carrés

On se souvient que cette expression est unique du fait de notre hypothèse:

p/q est irréductible

p² – Nq² = 0

Calculons la même chose avec nos deux nouveaux nombres: p' et q'

p'² – Nq'² = ?

En remplaçant par les valeurs

Et en procédant au calcul

(N.q   n.p)² N (p – n.q)²

= N²q² – 2Nnpq +n²p² – N(p² – 2npq + n²q²)

= N²q² + n²p² – Np² – Nn²q²

= N (Nq² – p²) +n² (p² – Nq²)

= (n² – N) (p² Nq²)

Bilan

p'² – Nq'² = (n² – N) (p² Nq²)

Mais le deuxième terme est nul.

L'expression complète est nulle

p'² – Nq'² = 0

L'expression n'est pas unique

Ce qui contredit notre hypothèse

La racine carrée d'un nombre non carré parfait est un nombre irrationnel.

 

 

Généralisation – Racine kième de n

 

 

Racine carrée

Pour tout n appartenant à l’ensemble des nombres entiers (Z+ = N = {1, 2, 3 …}), la racine carrée de n est rationnelles que si, et seulement si, n est un carré parfait N².

 

Racine kième

K est un nombre entier supérieur à 2. Alors, la racine kième de n est irrationnelle, sauf si n est une puissance parfaire, n = Nk.

 

La racine énième d’un nombre entier positif, si elle n’est pas un entier,

elle est un nombre irrationnel.

 

Racine évidente d’un polynôme (Rational Roots Theorem)

Ce théorème se démontre à partir des résultats cités ci-dessus.

 

 

Si an et a0 sont des entiers non nuls, et si une fraction irréductible p/q est racine du polynôme, alors p divise a0 et q divise an.

Voir Suite et exemples

 

 

 

English corner

 

How do we know that square root of 2 is an irrational number

In other words, how do we know that √2 wouldn't have a pattern in the decimal sequence?  

Maybe the pattern is very well hidden and is really long, billions of digits?  

Even if you check it till million first digits, maybe the pattern is just longer than you were able to print the digits out with your computer?

 

Here is where mathematical proof comes in.  

The proof that √2  is indeed irrational isn't that difficult to follow.

It relies on a proof by contradiction.


 
Demonstration

 

*    Let's suppose √2 were a rational number.  

Then we can write it √2  = a/b where a, b are whole numbers.
We additionally make it so that this a/b is simplified to the lowest terms.

*    It follows that 2 = a2/b2, or a2 = 2 * b2.  
So the square of a is an even number.
From this we can know that a itself is also an even number: a = 2k.

*    If we substitute a = 2k into the original equation:  4k² = 2b² => b² = 2k².
This means b2 is even, and b itself is an even number: b = 2h
 

*    Now it turns out that a and b are both even.
So √2 = 2k/2h cannot be rational.

 

Voir Anglais – Le bagage minimum

 

 

 

 

 

Suite

*    Racine de 2 en géométrie

*    Démonstration par les nombres congruents

Voir

*    Nombre irrationnels

*    Constantes

*    Imaginaires

*    Pi

*    Nombre d'Or

DicoNombre

*    Racine de 2

*    Racine de 3

Site

*    Nombre irrationnel – Wikipédia

*    Some irrational numbers – Pete L. Clark – Démonstration pour la racine carrée et la racine kième de n.

*    An introduction to irrationality and transcendence methods – Michel Waldschmidt

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/Rac2Irra.htm