NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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  Calculs avancés

 

Débutants

Multiplication

Védiques

 

Glossaire

Multiplication

 

 

INDEX

 

Multiplications

 

Calcul

Calculs de 1/N

Multiplications védiques

 

Sommaire de cette page

>>> Approche et notation

>>> Calcul de 1/19 – méthode classique

>>> Calcul de 1/19 – méthode védique

>>> Calcul de 1/29

>>> Calcul de 1/A9 en pratique

>>> Table de valeurs de 1/..9

>>> La méthode algorithme

>>> Explications

>>> Nombres non-terminée en 9

 

 

 

 

 

 

 

CALCUL VÉDIQUE de 1/..9

 

Les Indiens anciens avaient des méthodes rapides de calcul  de cette fraction unitaire dont le dénominateur est terminé par 9.  Il est vraisemblable que vous n'utiliserez jamais cette méthode de calcul.

Pourtant, lisez cette page pour vous rendre compte comme le monde des nombres est fascinant. Après un exposé de la méthode, on expliquera pourquoi ça marche. Puis on généralisera la méthode de calcul.

 

Védique

Concerne le nord de l'Inde.

Période: - 2000 à – 500.

Écriture des textes védas, hindouistes, en sanscrit védique.

Formation des royaumes de l'Inde ancienne.

À partir de 320 av. J.-C viendra l'âge d'or de l'hindouisme et de la littérature sanskrite classique.

D'après Wikipédia

 

 

 

APPROCHE et NOTATION

 

 

Comment calculer une fraction comme 1/19?

 

Observation

 

Principe

 

On introduit ici une notation indienne qui indique que le cycle des décimales est terminé. Ainsi, " i " veut dire que le prochain chiffre est 1 et que le cycle des mêmes décimales se répète.

A ce niveau la division donne 1, reste 1. Puis, on repart avec la division 1/19 comme au début.

 

 

1/19 par la méthode classique

 

Calcul posé à la française (comme à l'école)

 

 

Voir Division décimale

 

 

1/19 par la méthode védique

 

 

Première étape: chiffre de calcul

 

Dans 19, on prend le 1 et on lui ajoute 1 qui donne 2, le chiffre du calcul.

 

Deuxième étape: itérations

 

Le dernier chiffre du cycle sera 1.

1

Le suivant sera ce dernier multiplié par 2.

2 1

On continue à multiplier par 2 le chiffre de gauche.

4 2 1

Idem.

8 4 2 1

Encore, mais en faisant attention à la dizaine 2x8=16.

1 6 8 4 2 1

Insistons, poursuivons... en prenant la retenue 2x3+1=13.

1 3 1 6 8 4 2 1

On multiplie et on prend la retenue.

7 1 3 1 6 8 4 2 1

On s'arrête lorsqu'on retrouve le " 1 " du début.

1 1 0 5 1 2 6 3 1 1 1 5 1 7 1 8 9 1 4 7 1 3 1 6 8 4 2 1

 

1/19 = 0,052631578947368421 …

Notez qu'on peut facilement écrire le résultat d'un seul trait, en écrivant de droite à gauche.

 

 

1/29 par la méthode védique

 

 

Dans ce cas on prend le 2 de 29, on lui ajoute 1; le chiffre du calcul sera 3.

On procède comme ci-dessus en multipliant par 3.

 

 

1/29 = 0,0344827586206896551724137931 …

 

 

 

1 / A9 - En pratique

 

Calculs pour les inverses des nombres terminés par 9.

 

Calcul pratique pour 1/49

 

Le chiffre du calcul sera 4+1 = 5. On multiplie par 5.

Avec l'habitude, on écrit directement:

 

48 39 47 29 45 9 41 18 33 36 17 23 34 4619 43 38 37 27 25 5 1

 

On vient d'en faire la moitié... et c'est pratiquement terminé:

 

Observation qui réduit le calcul de 50%

 

On écrit les décimales en les repliant autour du point milieu, comme suit (en reprenant l'exemple connu de 1/19):

 

1/19 = 0,

0

5

2

6

3

1

5

7

8

 

9

4

7

3

6

8

4

2

i

 

Les sommes verticales donnent toujours 9.

Idem pour les autres:

 

Exemples pour 1/29 et 1/49

1/29 = 0,

0

3

4

4

8

2

7

3

8

6

2

0

6

8

 

9

6

5

5

1

7

2

4

1

3

7

9

3

i

 

 

1/49 = 0,

0

2

0

4

0

8

1

6

3

2

6

5

3

0

6

1

2

2

4

4

8

 

9

7

9

5

9

1

8

3

6

7

3

4

6

9

3

8

7

7

5

5

i

 

On utilise cette propriété pour limiter les calculs à la moitié des décimales.

Critère d'arrêt: lorsqu'on trouve le nombre égal à: diviseur moins dividende.

 

 

Soit

 

 

 

 

Table des valeurs de 1 / ..9

 

Voir TablesIndex

 

 

 

La méthode – Algorithme

Type de fractions

Le dénominateur est un nombre premier, et

son chiffre des unités est 9.

Exemple:

1/19

Valeurs de références

1)   n = dénominateur (D) – 1

2)   m = n/2

3)   x = dizaines de D + 1

n = 18

m =  9

x =   2

Initialisation

4)   Décimale d  = 1
Le nombre cherché N se termine par 1.

d = 1

N = …1

Calculs itératif

5)   Multipliez d par x.
Concaténez d à N.

6)   S'il y a une retenue, la conserver pour l'ajouter au coup suivant.

d = 1 x 2 = 2

N = … 21

r = 0

7)   Faites ces opérations m fois.

8)   Prenez son complément à 9.

N = …947368421

=>      052631578

 

Finalisation

9)   Concaténez et placez la virgule.

N = 0,052631578

           947368421 …

Voir Algorithmes

 

 

Période maximale

La période maximale d'un nombre par un nombre premier P est égale à P – 1. En effet, tous les restes possibles de la division par 19 sont épuisés après au maximum 18 essais. La division suivante donne un reste déjà connu et, avec lui, la suite des divisions déjà connues. 

 

 

 

 Explications

Deux phénomènes

L'effet d'une série géométrique

Une sorte de reconstitution d'un nombre décimal.

Suite géométrique

(r0 = 1 a été placé à droite)

Avec r < 1

 

Supposons que le rationnel x/y soit cette limite

Si ce nombre est 1/19
x = 1 et y = 19

Reprenons S

Mise en évidence des puissances de 10

Nous reconnaissons la  numération décimale

Parallèle montrant les décimales de 19, aux retenues près.

Construction de la série

 

Le premier terme (n = 1) a

*    un "poids" de 1/2 = 0,5

*    en position 1/10.

Ce qui donne un premier terme égal à 1/20 = 0,05.

Le premier chiffre est 5.

 

Le deuxième a un poids de 0,25 en position 1/100 soit une valeur de 0,0025, qui ajouté au premier donne un cumul de 0,0525.
Le deuxième chiffre est 2.

 

La suite des chiffres se construit progressivement de cette manière jusqu'à 19 – 1) 18 itérations.

Finale en 1

Remarquez que Période x Dénominateur = 999 …9

Ex: pour 1/7: 0,142857 x 7 = 0,999 999… = 1

En fin de période, le reste revient au 1 initial du numérateur. Voir Exemple de la division par 7.

 

Nombres non-terminés en 9

Sans surprise, la règle est généralisable.

Tout nombre rationnel est exprimable sous la forme d'une série géométrique infinie.

Transformons la fraction en mettant en évidence une puissance de 10, puis une terminaison en 9:

Le départ est 15 et le multiplicateur est 4. Soit la suite des opérations:

La suite des décimales est 38461 et en tenant compte du 1/10:

1/26 = 0,038461 38461 …

 

 

 

 

 

Suite

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*    Multiplication mentale (Trachenberg)

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Voir

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Livre

*    Vedic MathematicsJagadguru Swami Sri Bharati Krsna Tirthaji Maharaja (1184-1960) – Motilal Banarsidass publishers – Delhi – 1998 –

Ce livre acheté à NewDehli en 1998 m'avait coûté 125 roupees (1,6 euro).

Site

*    Vedic mathematics Academy

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http://villemin.gerard.free.fr/Calcul/MultiVed.htm