NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 21/09/2015

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Polygones

 

Débutants

Géométrie

Heptagone

 

Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

 

Polygones

 

Géométrie

 

Généralités

Diagonales

 

Sommaire de cette page

>>> Les 14 diagonales

>>> Longueur des diagonales

>>> Calcul des longueurs

>>> Les diagonales en moyenne harmonique

>>> Les diagonales au carré

>>> Relations entre segments de l'heptagone

 

 

 

 

 

 

HEPTAGONE

Propriétés des diagonales

 

 

Exploration des curiosités des diagonales de l'heptagone. Les inverses des trois segments fondamentaux de l'heptagone (côté et deux types de diagonales) forment une relation particulièrement simple:

 

Nous vérifierons une propriété singulière de l'heptagone inscriptible dans un cercle de rayon unité.

Occasion, aussi de toucher du doigt la trigonométrie des angles en Pi/7.

 

 

 

Les 14 diagonales de l'heptagone

 

Les diagonales

 

Entre les sept sommets de l'heptagone passent ½ x 6 x 7 = 21 droites portant les 7 côtés et les 14 diagonales

Voir Compter les segments

 

 

*        Les  7 cotés relient les sommets n à n + 1; ils forment le périmètre de l'heptagone;

*        Les 7 petites diagonales (rouges) relient les sommets n à n + 2; ils constituent un circuit fermé (de 1 à 7); et

*        Les 7 grandes diagonales (vertes) relient les sommets n à n + 3; ils constituent aussi un circuit fermé (de 1 à 7);

 

 

 

 

 

 

Les diagonales de l'heptagone forment deux autres heptagones concentriques (jaunes).

 

Les grandes diagonales sont 2 ¼ fois plus grande de la côté (un iota de moins)

Les petites diagonales sont moins de 2 fois (1,8) plus grandes que le côté.

 

 

 

Longueur des diagonales

 

 

Toutes les formules >>>

 

Pour tout heptagone de côté mesurant "a", multipliez les valeurs du tableau par "a".

 

 

Théorème général

Pour tout polygone régulier (n > 4), si la plus grande diagonale mesure d et la suivante en longueur e, alors:

d – e = 1/ d

 

Voir Hexagone

 

 

 

Relation entre les deux diagonales (vérification)

d – e = 2,247 – 1,802 = 0,445

1/ d = 1 / 2,247          = 0,445

 

 

 

Calculs des longueurs des diagonales

 

Grande diagonale (d)

 

*      Dans le triangle rectangle ADM (bleu):

 

 Voir Rayon du cercle circonscrit

 

 

 

 

Petite diagonale (e)

 

*      Dans le triangle rectangle ACM (vert):

 

 

 

 

 

Heptagone et son cercle circonscrit

 

Angles

CAM = 3 /14 = 38,57…°

AMC = 4 /14 = 51,43…°

Somme           = 90 °

 

Trigonométrie

Les triangles ADM et ACM sont rectangles car un des côtés est un diamètre (AM) et le sommet opposé (D ou C) est situé sur le cercle.

Le triangle rectangle est le terrain d'application de la trigonométrie.

 

Formule des angles doubles:

sin 2A = 2 sin A . cosA

 

 

 

 

 

Les diagonales en moyenne harmonique

 

Théorème

 

Dans un heptagone régulier l'inverse (de la mesure) du côté vaut la somme des inverses des deux types de diagonales.

 

 

Dit autrement pour un côté unité

Les longueurs d et e sont telles que leur somme est égale à leur produit.

 

 

Exemple a = 1

 

 

 

Démonstration

 

L'heptagone ABCDEFG est cyclique, comme l'est le quadrilatère ACDE (jaune).

 

Notez les mesures des côtés et des diagonales de ce quadrilatère

 

 

 

Le théorème de Ptolémée s'applique: la somme des produits des côtes opposés est égale au produit des diagonales.

ae + ad = de

a (d + e) = de

En divisant par d + e

En inversant

Voir Moyenne harmonique

 

 

Les diagonales au carré

 

Théorème

 

Dans un heptagone régulier inscrit dans un cercle de RAYON UNITÉ, la somme des carrés des trois types de segments  ainsi que leur produit valent 7.

 

 

 

Avec un heptagone inscrit dans un cercle de rayon unité:

 

 

attention.png  Le calcul dépasse le cadre de ce site; nous donnons simplement une vérification.

Expression de ces segments en fonction de R

a = 2 x 0,433 = 0,8677…

d = 2 x 0,975 = 1,9498…

e = 2 x 0,782 = 1,5636…

Somme

Produit

S = 0,753 + 3,801 + 2,445

    = 6,999…

P = 0,753 x 3,801 x 2,445

    =  6,998…

 

 

Relations entre les segments de l'heptagone

Hypothèse

Formule

Notation

Général

 

a = 1

e² = 1 + d

d² = d + e + 1

d3 = 3d + 2e + 1

d4 = 6d + 5e + 3

d5 = 14d + 11e + 6

d6 = 31d + 25e + 14

 

R = 1

La formule dessus à droite est déduite de celle de gauche et elle vaut pour tout polygone.

 

Théorème

Pour tout polygone à n côté, inscriptible dans un cercle de rayon unité, la somme des carrés de tous les côtés et de toutes les diagonales est égale à n².

 

 

Merci à Éric B. pour sa contribution

 

 

 

 

Retour

*    Heptagone

Suite

*    Hexagone 

*    Pentagone

*    Dodécagone

Voir

*    Calcul de Pi

*    Construction géométrique des nombres

*    GéométrieIndex

*    Pentagone et racines de 1

*    Polygone

*    Pavage avec polygones

DicoNombre

*    Nombre 7

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Polygone/HeptaDia.htm