Les diagonales de l'heptagone

NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 17/01/2024 Orientation générale DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Les 14 diagonales >>> Longueur des diagonales >>> Calcul des longueurs >>> Les diagonales en moyenne harmonique >>> Les diagonales au carré >>> Relations entre segments de l'heptagone

HEPTAGONE

Propriétés des diagonales

Exploration des curiosités des diagonales de l'heptagone. Les inverses des trois segments fondamentaux de l'heptagone (côté et deux types de diagonales) forment une relation particulièrement simple:

Nous vérifierons une propriété singulière de l'heptagone inscriptible dans un cercle de rayon unité.

Occasion, aussi de toucher du doigt la trigonométrie des angles en Pi/7.

Heptagone régulier

Diagonales	14
Intersections	35
Régions	50
Triangles	287

Voir Intersections et régions

dans les polygones

Les 14 diagonales de l'heptagone

Les diagonales

Entre les sept sommets de l'heptagone passent ½ x 6 x 7 = 21 droites portant les 7 côtés et les 14 diagonales

Voir Compter les segments

Les 7 cotés relient les sommets n à n + 1; ils forment le périmètre de l'heptagone;

Les 7 petites diagonales (rouges) relient les sommets n à n + 2; ils constituent un circuit fermé (de 1 à 7); et

Les 7 grandes diagonales (vertes) relient les sommets n à n + 3; ils constituent aussi un circuit fermé (de 1 à 7);

Les diagonales de l'heptagone forment deux autres heptagones concentriques (jaunes).

Les grandes diagonales sont 2 ¼ fois plus grande de la côté (un iota de moins)

Les petites diagonales sont moins de 2 fois (1,8) plus grandes que le côté.

Longueur des diagonales

Toutes les formules >>>

Pour tout heptagone de côté mesurant "a", multipliez les valeurs du tableau par "a".

Théorème général

Pour tout polygone régulier (n > 4), si la plus grande diagonale mesure d et la suivante en longueur e, alors:

d – e = 1/ d

Voir Hexagone

Relation entre les deux diagonales (vérification)

d – e = 2,247 – 1,802 = 0,445

1/ d = 1 / 2,247 = 0,445

Voir Son calcul / Tables / Quantité d'intersections des diagonales

Calculs des longueurs des diagonales

Grande diagonale (d)

Dans le triangle rectangle ADM (bleu):

Voir Rayon du cercle circonscrit

Petite diagonale (e)

Dans le triangle rectangle ACM (vert):

Heptagone et son cercle circonscrit

Angles

CAM = 3 /14 = 38,57…°

AMC = 4 /14 = 51,43…°

Somme = 90 °

Trigonométrie

Les triangles ADM et ACM sont rectangles car un des côtés est un diamètre (AM) et le sommet opposé (D ou C) est situé sur le cercle.

Le triangle rectangle est le terrain d'application de la trigonométrie.

Formule des angles doubles:

sin 2A = 2 sin A . cosA

Les diagonales en moyenne harmonique
Théorème Dans un heptagone régulier l'inverse (de la mesure) du côté vaut la somme des inverses des deux types de diagonales. Dit autrement pour un côté unité Les longueurs d et e sont telles que leur somme est égale à leur produit.	Exemple a = 1
Démonstration L'heptagone ABCDEFG est cyclique, comme l'est le quadrilatère ACDE (jaune). Notez les mesures des côtés et des diagonales de ce quadrilatère
Le théorème de Ptolémée s'applique: la somme des produits des côtes opposés est égale au produit des diagonales.	ae + ad = de a (d + e) = de
En divisant par d + e
En inversant

Voir Moyenne harmonique

Les diagonales au carré
Théorème Dans un heptagone régulier inscrit dans un cercle de RAYON UNITÉ, la somme des carrés des trois types de segments ainsi que leur produit valent 7.	Avec un heptagone inscrit dans un cercle de rayon unité: Le calcul dépasse le cadre de ce site; nous donnons simplement une vérification.
Expression de ces segments en fonction de R		a = 2 x 0,433 = 0,8677… d = 2 x 0,975 = 1,9498… e = 2 x 0,782 = 1,5636…
Somme Produit		S = 0,753 + 3,801 + 2,445 = 6,999… P = 0,753 x 3,801 x 2,445 = 6,998…

Relations entre les segments de l'heptagone
Hypothèse	Formule	Notation
Général
a = 1

	e² = 1 + d
	d² = d + e + 1 d³ = 3d + 2e + 1 d⁴ = 6d + 5e + 3 d⁵ = 14d + 11e + 6 d⁶ = 31d + 25e + 14
R = 1
	La formule dessus à droite est déduite de celle de gauche et elle vaut pour tout polygone. Théorème Pour tout polygone à n côtés, inscriptible dans un cercle de rayon unité, la somme des carrés de tous les côtés et de toutes les diagonales est égale à n².

Merci à Éric B. pour sa contribution

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DicoNombre	Nombre 7
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