NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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GÉOMÉTRIE

 

Dénombrement

Quadrilatère

Carré

Triangles dans rectangle

Segments dans grille

Parallélogramme

Rectangle

Carré dans carré

Rectangle dans rectangle

Losange

Trapèze

Carrés dans rectangle

Triangle dans le carré

 

Sommaire de cette page

>>> En bref

>>> Dénombrement

>>> Liste

>>> Égalité de sommes de carrés consécutifs

>>> Triplets de Pythagore

 

 

 

Quantité de segments dans une grille

Nombres quadrillages

 

Dessinez un quadrillage et amusez-vous à compter les segments élémentaires. La formule donnant la quantité de segments est extraordinairement simple!

Une série de nombres qui côtoie les nombres triangulaires, les nombres carrés centrés, les triplets de Pythagore ou encore les belles égalités de comme de carrés consécutifs.

 

 

En bref sur un exemple

 

12 = 2 (2 x 3)

= 4 T2

= CC2 – 1

= 2² + 3² – 1

5² + 12² = 13²

10² + 11² + 12² = 13² + 14²

*     Nombre quadrillage: 12 traits dans une grille 2x2.

*     Quatre fois le deuxième nombre triangulaire.

*     Nombre carré centré moins 1.

*     Somme de deux carrés moins 1.

*     Nombre central d'un triplet de Pythagore jumeau.

*     Nombre central de cette somme de carrés.

Ensemble, ces propriétés sont communes à toute une série de nombres: 4, 12, 24, 40 …

Voir Nombre 12 – DicoNombre

 

 

Dénombrement

 

Observations

Le carré comporte, bien évidemment quatre côtés.

 

Avec une grille de 2 x 2 carrés, on compte 12 segments:

*      3 x 2 = 6 segments horizontaux et

*      3 x 2 = 6 segments verticaux.

 

Avec une grille de 3 x 3 carrés, on compte 24 segments:

*      4 x 3 = 12 segments horizontaux et

*      4 x 3 = 12 segments verticaux.

 

On constate une logique de comptage. Appliquons la à la grille 4 x 4

*      5 x 4 = 20 segments horizontaux et

*      4 x 4 = 20 segments verticaux.

 

Conclusion

La formule générale est indiquée sur l'illustration. On y reconnait le produit de deux nombres consécutifs, d'où la formulation avec  les nombres triangulaires Tn.

 

 

Quadrillage de n = 1 à n = 4

 

Théorèmes

La quantité de segments pour une grille nn est égale à quatre fois le nombre triangulaire d'ordre n. 

On passe de la grille n à la grille n + 1 en ajoutant quatre fois n + 1. 

 

 

 

Liste des valeurs des nombres quadrillages: Qn

Formules

Qn = 2n (n + 1)

Qn+1 = Qn + 4 (n + 1)

 

 

Programmation (Maple)

 

 

 

Rapprochement

Ajoutez 1 à cette liste, et vous obtenez la liste des nombres carrés centrés qui est aussi la somme de deux carrés consécutifs:

CCn = 2n (n + 1) + 1

     = (n + 1)² + n²

 

Liste des 100 premiers

4, 12, 24, 40, 60, 84, 112, 144, 180, 220, 264, 312, 364, 420, 480, 544, 612, 684, 760, 840, 924, 1012, 1104, 1200, 1300, 1404, 1512, 1624, 1740, 1860, 1984, 2112, 2244, 2380, 2520, 2664, 2812, 2964, 3120, 3280, 3444, 3612, 3784, 3960, 4140, 4324, 4512, 4704, 4900, 5100, 5304, 5512, 5724, 5940, 6160, 6384, 6612, 6844, 7080, 7320, 7564, 7812, 8064, 8320, 8580, 8844, 9112, 9384, 9660, 9940, 10224, 10512, 10804, 11100, 11400, 11704, 12012, 12324, 12640, 12960, 13284, 13612, 13944, 14280, 14620, 14964, 15312, 15664, 16020, 16380, 16744, 17112, 17484, 17860, 18240, 18624, 19012, 19404, 19800, 20200, …

 

Liste avec rang

Voir ProgrammationIndex

 

 

Égalité de sommes de carrés consécutifs

Le nombre  qui précède le signe égal à Q:

 

Qn = 2n (n + 1) = 4Tn

Voir Somme de carrés consécutifs = somme de carrés consécutifs

 

 

Triplets de Pythagore

Les Qn représentent également les termes des triplets de Pythagore jumeaux par l'hypoténuse tels que:

 

a² + b² = (b + 1)²

 

b est un nombre quadrillage, et

b + 1  est un nombre carré centré.

 

 Merci à Jean-Louis Breuil pour l'idée de cette page 

 

 

 

Suite

*    Quantité de carrés dans le quadrillage d'un rectangle

*    Constructions élémentaires: rectangle

*    Le terrain de basket

*    Losange

*    Pavage avec des rectangles

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*    OEIS – A046092 – 4 times triangular numbers: a(n) = 2*n*(n+1)

*    OEIS – A001844 – Centered square numbers: a(n) = 2*n*(n+1)+1. Sums of two consecutive squares

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