NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 25/09/2018

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                      Brèves de Maths

      

FORMES

 

Débutants

Général

NOMBRES

CONSÉCUTIFS

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Consécutifs

 

Formes et motifs

 

Divisibilité

 

Introduction

Carrés

Somme  = carré

Produit-Carré

Entiers

Puissances

Palindrome

Quantité

 

Sommaire de cette page

>>> Somme de 12 entiers, jamais carré

>>> Somme de 24 carrés consécutifs

>>> Somme de K carrés consécutifs

>>> Somme de cinq carrés consécutifs

>>> Méthode

>>> Somme de k carrés consécutifs

>>> Somme de 3 et 4 carrés consécutifs

>>> Somme de 5 carrés consécutifs

>>> Somme de 6 … carrés consécutifs

>>> Programmation Maple

 

 

 

 

 

Somme de CARRÉS consécutifs

= CARRÉ

 

On connait la somme des entiers aux carrés de 1 à n. On généralise à la somme des entiers aux carrés  de m à n et on cherche si de telles sommes sont des carrés. On trouve:

*    Des listes infinies de sommes de carrés consécutifs égalent un carré;

*    Aucun cas de carrés pour 3 à 10 termes dans la somme;

*    Pour 2 termes, il y en a une infinité, les triplets de Pythagore.

 

Anglais Sum of consecutive squares equal to a square

 

 

Mise en bouche: somme de 12 entiers consécutifs, jamais carré

 

Somme de 12 nombres consécutifs:

S(12) = n + (n+1) + (n+2) + … + (n +11)

           = 12n + ½ 11 x 12

           = 12n + 66 = 6 (2n + 11)

La somme S ne sera un carré que si (2n + 11) est un multiple de 6, or ce n'est pas le cas, car ce nombre est impair.

 

C'est le cas également pour la somme de 4 entiers: S = 2 (n + 3), car (n+ 3) ne peut pas être multiple de 2.

 

Premières sommes carrées selon la quantité de termes

2(4,9) / 3(2,9) / 4(-) / 5(3,25) / 6(11,81) / 7(4,49) / 8(1,36) / 9(5,81) / 10(18,225) / 11(6,121) / 12(-) / 13(7,169) / 14(81,1225) / 15(8,225) …

 

Ex: 5(3, 25) => 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25 = 5²

       7(4,49) => 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 49 = 7²

 

Notez (en rouge) la somme est le carré de la quantité k de termes. Ce sont tous les cas pour k impairs.

Avec 5 termes: S = 5n + 10, il suffit que n = 3 pour obtenir un carré: 5x3 + 10 = 25 = 5². La forme générique est: S = (2k-1)n + (2k-1)(k-1) ou avec n = k => S =  (2k – 1) (k + k – 1) = (2k – 1)². Un carré.

 

Voir Somme des entiers  / Somme des entiers consécutifs /

Divisibilité de la somme des entiers consécutifs

 

 

Somme de 24 carrés consécutifs

 

Somme des entiers au carré à partir de 1

En 1875, Lucas se pose la question: est-ce qu'une pyramide à base carrée peut contenir une quantité carrée de boulets de canon? Autrement-dit, est-ce que l'équation diophantienne: 1² + 2² + 3² + … + n² = C² a des solutions. Lucas affirmait que les seules solutions étaient n = 1 (trivial) et n = 24 (dont la somme vaut 70² = 4 900). La preuve date de 1918 par Watson.

 

Départ quelconque

Dans le cas de carrés consécutifs de m à n, on connait par exemple:
25² + 26² + … + 624² = 9 010².

Il existe une infinité de telles solutions, mais très "dispersés" (densité zéro).

Si on trouve une solution avec k termes consécutifs, k n'étant pas un carré, on peut en déduire une infinité d'autres solutions (Laurent Beeckmans).

 

 

Exemples

La première égalité est la seule en commençant par 1.

 

Suite de cette liste

Cette liste continue avec pour premiers termes: 304, 353, 540, 956, 1 301, 2 053, 3 112, 3 597, 5 448, 8 576, 12 981, 20, 425, 30 908, 35 709, 54 032, 84 996 …

 

Négatifs

Un départ négatif fonctionne également: - 4, -8, -11, -12, -15, -19, -24, -32, -43, -48, -67, -99, …

Avec -4, S = 16 + 9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 +…+ 361 = 2500 =  50². Notez la répétition de certains carrés.

À partir de – 24, on retrouve le nombre final de la somme en positif.

 

Programme Maple pour sommes de 24 carrés

 

 

 

Commentaires

Réinitialisation générale.

Initialisation d'une liste L.

Lancement d'une boucle faisant progresser n le départ de la somme.

Calcul de la somme des carrés avec k l'indice qui fait passer aux nombres consécutifs à partir de n.

Test si cette somme est un carré. Si oui, la liste L est complétée par la valeur de n conduisant à un carré.

En bleu, le résultat du traitement.

 

 

 

Somme de K carrés consécutifs

 

Liste  a = premier de k termes pour une somme carrée par quantité croissante de carrés
 
[3, 2, 5], [18, 11, 77], [7, 23, 92], [1, 24, 70], [25, 26, 195], [7, 33, 143], [25, 49, 357], [7, 50, 245], [22, 59, 413], [13, 96, 652], [15, 97, 679], [50, 122, 1281], [30, 169, 1612], [7, 184, 1518], [83, 194, 2619], [65, 218, 2725], [64, 242, 3069], [20, 289, 3128], [15, 312, 3406], [27, 338, 4017], [25, 554, 8033], [3, 578, 8075], [25, 600, 9010], [38, 649, 10384], [65, 864, 16332], [3, 961, 17267], 

 

Légende

*      le premier nombre est le début de la somme,

*      le deuxième la quantité de carrés dans la somme et

*      le troisième la somme

 

Lecture
[3, 2, 5] => 3² + 4² = 25 = 5²
[18, 11, 77] => 18² + 19² +…+ 28² = 77²

 

 

Programme Maple pour première somme de carrés

 

 

Commentaires

 

Même programme que ci-dessus.

Alors que le précédent recherchait une somme de 24 termes celui- ci recherche les sommes de kk termes.

Alors que le précédent énonçait plusieurs sommes, celui-ci s'arrête à la première trouvée (break).

 

En bleu, le résultat du traitement.

Programme Scratch

 

But

 

Ce programme teste si la somme de carrés est un carré. On donne le nombre de départ et la quantité de carrés à ajouter.

 

 

Résultat (exemple)

 

 

Commentaires

 

Après la phase d'initialisation des variables, à la huitième ligne, on lance le calcul de la somme des carrés (nombre x nombre). La variable nombres est incrémentée à chaque passage. Pour mieux visualiser cela, il est possible de demander d'attendre quelques secondes à votre gré.

La somme est finalisée avec la dernière valeur de nombre.

Appel au bloc EstCarré défini en bas. Il teste si le nombre est un carré et retourne résultat égal à 1 si oui et à 0 sinon.

Les dernières lignes affichent le message que prononce le chat.   

Voir ProgrammationIndex

 

 

Somme de cinq carrés consécutifs =  carré ?

Pour commencer examinons le cas de cinq termes dans la somme. Comme:
1² + 2² + 3² + 4² + 5² = 55

 

Théorème

La somme des carrés de cinq nombres consécutifs n'est jamais un carré.

 

 

 

Somme de cinq carrés

De façon générale:

S = (n – 2)² + (n – 1)² + n² + (n + 1)² + (n + 2)²

S = (n – 2)² + (n + 2)² + (n – 1)² + (n + 1)² + n²

S = 2n² + 8 + 2n² + 2 + n²

S = 5n² + 10

S = 5 (n² + 2)

La somme S n'est carré que si  n² + 2 est un multiple de 5.

n² + 2  se termine par 5 ou 0.

        se termine par 3 ou 8.

Propriété des unités des carrés

Un carré se termine par: {0, 1, 4, 5, 6, 9}

Jamais par 3 ou 8.

La somme de ces cinq carrés n'est jamais un carré.

 

Méthode

Nous venons de voir une méthode de démonstration particulière.

La méthode générale consiste:

*    à s'intéresser aux restes r de la division par d de ces sommes.

*    à comparer ces restes avec ceux des carrés.

Si aucun des restes r ne se trouvent dans la liste des restes des carrés, la somme  n'est pas un carré.

 

 

Somme de k carrés consécutifs

Somme des carrés de 1 à n:

Somme des carrés successifs de n = a jusqu'à n = a + k – 1, soit k termes à partir de a.

 

S = a² + (a + 1)² + (a + 2)² + … + (a + k – 1)²

S = + + 2a + 1 + + 4a + 4 + … + (a + k – 1)²

 

Somme des a² => ka²

Somme des a => k (k – 1) a

Somme des carrés => notre formule

 

S = ka² + k(k – 1)a + 1/6 (k – 1) k (2k – 1)

 

Valeur de ces sommes pour k  de 2 à 12

 

Exemple

S(k = 5, a = 4)

 = 5x4² + 20x4 + 30

= 190

À comparer à la valeur calculée dans le tableau du dessus.

 

 

Somme de 3 et 4 carrés consécutifs

Pour k = 3

 

Voir

Table des restes de la division des carrés qui commence par:

 

S = 3a² + 6a + 1/6 (2) 3 (5) = 3a² + 6a + 5

S = 3a (a + 2) + 3 + 2

Cette expression divisée par 3 donne les restes 0 + 0 + 2; le reste de toute l'expression est égal à 2. On écrit:

 

En se reportant à la table des restes  des carrés divisés par 3, on constate que ce reste ne peut être que 0 ou 1. On écrit:

 

La valeur 2 n'est jamais le reste d'un carré divisé par 3, l'expression S ne peut jamais être un carré.

 

La somme des carrés de trois nombres consécutifs

n'est jamais un carré.

 

Pour k = 4

 

S = 4a² + 12a + 1/6 (3) 4 (7) = 4a² + 12a + 14

S = 4a (a + 3) + 12 + 2

    (se reporter à la table)

 

La somme des carrés de quatre nombres consécutifs

n'est jamais un carré.

 

 

 

Somme de 5 carrés consécutifs

Pour k = 5

Voir la méthode 1  ci-dessus >>>

Méthode 2

 

S = 5a² + 20a + 1/6 (4) 5 (9) = 5a² + 20a + 30

S = 5(a² + 4a + 6) 

S n'est un carré que si la parenthèse est divisible par 5.

P = a² + 4a + 6 = a (a+4) + 6

Jamais divisible par 5.

 

La somme des carrés de cinq nombres consécutifs

n'est jamais un carré.

   

Méthode 3

 

 

 

Nous allons utiliser cette méthode pour les valeurs suivantes de k sans expliciter le détail du calcul.

 

S = 5a² + 20a + 30

Avec k  = 3 nous avions utilisé la division par 3 et celle par 4 pour k = 4. Ici, la division par 5 ne marche pas: elle donne un reste nul. Or, il existe des carrés qui, divisés par 5, donnent un reste nul. Pas de conclusion possible.

Essayons la division par 4.

 

Tous les cas seront couverts si on analyse l'expression pour a valant (0, 1, 2 et 3), les quatre valeurs possibles du reste de la division par 4.

S(a = 0) = 30 => reste 2

S(a = 1) = 5 + 20 + 30 = 55 => reste 3

S(a = 2) = 20 + 40 + 30 = 90 => reste 2

S(a = 3) = 45 + 60 + 30 = 135 => reste 3

 

    (se reporter à la table)

Intersection vide entre ces deux ensembles.

Même conclusion: pas de carré avec cinq termes.

 

 

 

Somme de 6 carrés consécutifs et plus

Sommes

Se reporter au tableau ci-dessus >>>

Intersection vide ?

 

Pour chaque expression de la somme, on cherche la valeur de l'ensemble S (ensemble des restes ou des congruences) mode d.

Il s'agit de trouver une valeur de d produisant une intersection vide avec C, lequel est l'ensemble des restes des carrés divisés par d.

Valeurs trouvées

Ce tableau montre que:

 

La somme des carrés de 3, 4, …10 nombres consécutifs

n'est jamais un carré.

 

Par contre pour 11, il existe des solutions:

18² + 19² +…+ 28² = 77²

38² + 39² + …+ 48² = 143²

456² + 457² + …+ 466² = 1 539²

854² + 855² + … + 864² = 2 849²

 

 

 

Programmation Maple

 

Commentaires

Réinitialisation générale.

Boucle en k, la quantité de termes de la somme.

Boucle en d, pour la recherche du premier diviseur provoquant une intersection vide.

Initialisation de deux ensembles.

Boucle d'exploration des valeurs de a, les restes de le division par d.

Calcul de la somme avec les valeurs des paramètres k et a.

La liste L est complétée par le reste  de la division de S par d (S mod d).

La liste LL est complétée par le reste de la division du carré par d.

En fin d'exploration si les deux listes n'ont aucun élément en commun, on imprime la valeur de d trouvée et on stoppe le balayage (break) pour passer à la valeur de k suivante.

 

En bleu, le résultat du traitement.

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

 

 

 

Retour

*    Somme de carrés consécutifs

Suite

*   Produit de consécutifs = carré ?

*    Cas des puissances (exposants) consécutifs

*    Sommes de puissance – S'y retrouver

*    Sommes de carrés, cubes et autres puissances

Voir

*    Somme de k carrés

*    Somme des puissances

*    Consécutifs

*    Puissances consécutives

Voir

*    Carrés

*    Puissances - Index

*    Nombre pyramide

*    Somme des entiers, carrés …

*    Somme des entiers, carrés, puissances

Sites

*      OEIS A094196 - Indices of the start of a string of 24 consecutive squares whose sum is a square

*      Prove that sum of squares of 3, 4, 5, or 6 consecutive integers is not a perfect square? – Quora

*      When is a sum of consecutive squares equal to a square? – Mathematics 

*      Sum of consecutive squares equal to a square – Thomas Andrew

*      Sum of Consecutive Nth Powers Equals an Nth Power** – mathpages.com

*      On Sums of Consecutive Squares** – A. Bremner, R. J.  Stroeker, and N. Tzanakis

*    Squares Expressible as Sum of Consecutive Squares** – Laurent Beeckmans – 2018 – Accès payant.

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Formes/ConsCarSo.htm