NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 31/03/2018

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique       Brèves de Maths    

            

MOTIFS & FORMES

 

Débutants

Chiffre

 

NOMBRES UNIFORMES

ou REPDIGITS

 

 

Glossaire

Chiffre

 

 

INDEX

 

MOTIFS

 

Types de nombres

 

Motif

 

Repdigits

Repunits

Presque repdigit

999 …

Division des repunits

Bi-repdigit

888 …

Produits

Division de 999 …

Racine carrée

Calcul du carré

Persistance

Nombres périodiques

Nombres Demlo

Table des carrés

(n.p) min = Repdigit

Nombre dissécable

 

Sommaire de cette page

>>> Divisibilité par 11

>>> Une petite énigme pour commencer

>>> Construire de telles énigmes

>>> Propriétés des bi-repdigits

>>> Implémentation sur tableur – Niveau collège

 

 

 

 

NOMBRES UNIFORMES double

ou

REPDIGITS double ou Bi-Repdigits

 

 

Nombre de la forme aa…aabb…bb.

Leurs propriétés de divisibilité.

Objet d'énigmes: trouvez tous ces nombres divisibles par 45.

 

                                  Exemple

6 facteurs et 64 diviseurs.

    Si on divise de tels nombres par k de 1 à n, on trouve plusieurs tels nombres divisibles plusieurs fois jusqu'à 41. Celui-ci n'est divisible qu'une seule fois par 42.

 

 

Divisibilité par 11

 

Exemples

 

 

est un nombre dont les chiffres sont en a et b comme 22225555.

Par la suite, on simplifie la notation en omettant le surlignement.

 

Avec ce nombre, on a: a+a+b+b = a+a+b+b qui indique que le nombre est divisible par 11.

 

Tous les nombres en aa…abb…b avec une quantité paire de chiffres sont divisibles par 11.

 

Par exemple: 88889999 = 11 x 8080909

 

 

Une petite énigme pour commencer

Énigme

Quelles sont les valeurs de a et b telles que N = aaaabbbb soit divisible par 45?

 

Une des solutions

 

Solution

Notons que a et b sont des chiffres: a < 10  et b < 10.

Si N est divisible par 45, il l'est par 5 et par 9.

Divisible par 5, alors b = 0 ou 5.

Divisible par 9, alors 4a + 4b = 9k

 

Si b = 0, alors 4a = 9k et a = 9 (a < 10) et N = 99990000.

Si a = 0 et b = 0, alors N = 00000000, trivial

Si a = 0 et b = 5, alors

4a + 4x5 = 9k ou 4 (p + 5) = 9k

alors p + 5 = 9 et p = 4

N = 44445555

 

Notez que ces deux nombres sont également divisibles par 11, soit au bilan par 11 x 45 = 495.

 

Bilan

Parmi tous les nombres en aaaabbbb, seuls 44445555 et 99990000 sont divisibles par 45.

Nombres 44445555

               et 99990000

44 445 555 =         32 x 5 x 7 x 11 x 101x 127

99 990 000 = 24 x 32 x 52 x       11 x 101

Forme générique

44 445 555 =   1111 (1000 x 4 + 5)

99 990 000 =   1111 (1000 x 9 + 0)

Nombre 1111 (repdigit)

1 111 = 11 x 101

Anglais: The eight-digit number ppppqqqq, where p and q are digits, is a multiple of 45. What are the numbers?

 

 

Construire de telles énigmes

Cette énigme avec une divisibilité par 45 est assez classique. Elle est bien choisie car:

*      45 est le produit de 9 et 5 et la divisibilité par ces deux nombres est facile à rechercher, et

*      45 ne produit que deux nombres comme solution.

Prenons la divisibilité par 99. Le nombre est donc divisible par 11. Peu intéressant, car tous ces nombres le sont. Il est divisible par 9. Alors il suffit que a + b = 9 et nous avons ainsi 10 nombres comme 11118888, 22227777, etc.

 

 

Propriétés des bi-repdigits

2-bi-repdigits

 

N = aabb = 11 (100a + b)

Tous divisibles par 11.

Il y en à 90 (9 possibilités pour a et 10 pour b)

Record de divisibilité avec 5 544 qui est divisible par 27 nombres.

5 544 = 23 x 32 x 7 x 11= 504 x 11

 

3-bi-repdigits

 

N = aaabbb = 111 (1000a + b)

Tous divisibles par 3, 37 et 111.

Il y en à 90.

Record de divisibilité avec 888 888 qui est divisible par 29 nombres.

888 888 = 23 x 3 x 7 x 11 x 13 x 37 = 8008 x 111.

 

4-bi-repdigits

 

N = aaaabbbb = 1 111 (10 000a + b)

Tous divisibles par 11, 101 et 1 111.

Il y en à 90.

Record de divisibilité avec 11118888 qui est divisible par 18 nombres.

11 118 888 = 23 x 32 x 11 x 101 x 137 = 10 008 x 1111.

 

Parmi tous ces nombres, aucun n'est divisible par 49, 51, 53, 67, 68, 78, 84, 89, 91, 92, 93, 95, 97, 98, 102 …

 

Parmi tous ces nombres, certains ne sont divisibles qu'une

seule fois par un nombre donné:

99996666/42, 55552222/ 46, 55554444/54, 77776666/58, 33338888/62, 44445555/63, 77775555/65, 11115555/69, 7777000/70, 77776666/71, 77774444/74, 55558888/76, 55557777/79, 22227777/81, 33335555/85, 77774444/86, 11115555/87, 99990000/90, 55558888/94, 66660000/96, 66668888/104 …

 

D'autres deux fois seulement comme

31, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43 ou encore 45, objet de l'énigme.

 

5-bi-repdigits

 

N = aaaaabbbbb = 11 111 (100 000a + b)

Tous divisibles par 41, 271 et 11 111.

Il y en à 90.

Record de divisibilité avec 5555544444 qui est divisible par 20 nombres.

5 555 544 444 = 23 x 32 x 17 x 19 x 41 x 43 x 271 = 500 004 x 1111.

 

 

 

Implémentation sur tableur – Niveau collège

Exercice avec un tableur: trouver les nombres de la forme N = aaaabbbb divisibles par un nombre k donné.

Pour créer tous les nombres de cette forme, on utilise la forme générique:

N = aaaabbbb = 1111(10 000a + b)

La formule est entrée dans la troisième colonne :
En C2:   =1111*(10000*A2+B2)

Alors qu'en colonnes A et B on déroule les valeurs de a et b

En A12 : =A2+1 et en B12: =B2

Comme d'habitude, on sélectionne A12 et B12 et on tire la poignée en bas à droite pour renouveler les formules jusqu'à atteindre 99.

Le nombre k (ici 45) est placé en D1.

En D2, on divise le nombre N par k:

=C2/$D$1, le symbole S indique une cellule fixe: c'est toujours cette valeur qui est à prendre en compte

La formule est prolongée jusqu'en bas.

En E2, cherche les valeurs entières de la division comme celle trouvée en D37. Formule:

=SI(D2-PLANCHER(D2;1)=0;

PLANCHER(D2;1);" ")

En E1, on compte la quantité de valeurs entières sur toute la colonne:

=NB(E2:E91)

 

  

  

 

Les deux seuls nombres en aaaabbbb divisibles par 45 sont indiqués dans ce tableau.

 

Voir Programmation – Tableur – IndSex

 

 

 

 

Suite

*    Brève 153 – Énigme en 45

*    Nombres en 888 …

*    Nombres brésiliens (repdigit en base b)

*    Repunits ou nombres uniformes

*    Repdigit et différence de carrés

*    Repdigits avec 142857

*    Repdigits divisibles par 37

*    Nombres à chiffres répétés

*    Repdigits sans ce chiffre dans leurs puissances

Voir

*    Calcul du carrés des Repdigits

*    Carrés des Repdigits

*    Multiplication

*    Nombres à motifs

*    Nombres magiquesIndex

*    Nombres ondulants

*    Nombres répétés

*    Palindromes

*    Pannumériques

DicoNombre

*    Nombre 44445555

*    Nombre 9999 0000

*    Nombre 9999 6666

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Formes/aaaDivis/BiRpDgit.htm