NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Partitions

 

Débutants

Addition

Variations sur les carrés

 

Glossaire

Addition

 

 

INDEX

PARTITION

 

Carrés

Chiffres répétés

Repdigits

Chiffres différents

Produits

66 x 67 …

66 x 99 …

Factorisation

Sommes

Somme double

 

Différences

Propriétés

Écart 1, 2, …

Trouver la dif. des carrés

Table 1 à 100

Repdigits

Table des Repdigits

Curiosités

Tableau synthèse

a² – b² = c² – d²

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres consécutifs

>>> Repdigits

>>> Théorie

>>> Décomposition des repdigits

>>> Repunit

>>> Rep 2

>>> Rep 3

>>> Rep 4

>>> Rep 5

>>> Rep 6

>>> Rep 7

>>> Rep 8

>>> Rep 9

 

 

 

 

 

 

DIFFÉRENCE de carrés

avec répétition de chiffres

 

Curiosités et propriétés.

 

 

 

 

NOMBRES CONSÉCUTIFS

 

Curieuse répétition de chiffres

131            =       662             – 652

1331          =       6662           – 6652

13331        =       66662         – 66652

133331      =       666662      – 666652

Etc.                                        

 

Explications 

 

Développement de la différence des 2 carrés

 

66...66 2 – 66…65 2

= (66…66 + 66…65)  (66…66 – 66…65)

= (66…66 + 66…65)

 

Généralisation

 

n² – (n–1)² = { n + (n –1) } { n – (n –1) } = n + (n –1)

 

La différence des carrés de deux nombres consécutifs est égale à la somme des deux nombres.

 

Exemples

 

                – 5²              = 6               + 5               = 11

66²              – 65²            = 66             + 65             = 131

666²           – 665²          = 666           + 665           = 1331

     

16²             – 15²             = 16             + 15             = 31

166²           – 165²           = 166           + 165           = 331

1666²         – 1665²        =1 666        + 1665        = 3331

 

11²             – 10²             = 11             + 10             = 21

111²           – 110²           = 111           + 110           = 221

1111²         – 1110²        = 1111        + 1110        = 2221

 

23²             – 22²             = 23             + 22             = 45

223²           – 222²           = 223           + 222           = 445

2223²         – 2222²        = 2223        + 2222        = 4445

 

 

 

REPDIGIT et REPDIGIT - 1

 

A = aaaa

A – 1

D = A² – (A–1)²

1

11

111

1111

11111

111111

1111111

11111111

2

22

222

2222

22222

222222

2222222

22222222

3

33

333

3333

33333

333333

3333333

33333333

4

44

444

4444

44444

444444

4444444

5

55

555

5555

55555

555555

5555555

6

66

666

6666

66666

7

77

777

7777

77777

8

88

888

8888

88888

9

99

999

9999

99999

0

10

110

1110

11110

111110

1111110

11111110

 

1

21

221

2221

22221

222221

2222221

22222221

 

2

32

332

3332

33332

333332

3333332

33333332

 

3

43

443

4443

44443

444443

4444443

 

4

54

554

5554

55554

555554

5555554

 

5

65

665

6665

66665

 

6

76

776

7776

77776

 

7

87

887

8887

88887

 

8

98

998

9998

99998

1

21

221

2221

22221

222221

2222221

22222221

 

3

43

443

4443

44443

444443

4444443

44444443

 

5

65

665

6665

66665

666665

6666665

66666665

 

7

87

887

8887

88887

888887

8888887

 

9

109

1109

11109

111109

1111109

11111109

 

11

131

1331

13331

133331

 

13

153

1553

15553

155553

 

15

175

1775

17775

177775

 

17

197

1997

19997

199997

 

 

THÉORIE

 

 

Différence des carrés de deux nombres consécutifs

A et A - 1

D = A² - (A-1)² = 2A - 1 = A + (A-1)

La différence des carrés

de deux nombres consécutifs

est la somme des deux nombres

Si A = aaaaa

1) Le chiffre des unités est

a – 1

2) Ceux du milieu sont

l'unité de 2a

3) Le premier est

la dizaine de 2a

 

Exemples

A = 3333

=

 

3

3

3

3

 

D = 2 x 3333 - 1

=

 

6

6

6

5

 

Soit

 

 

 

 

 

 

3333² - 3332² = 6665

 

A = 4444

=

 

4

4

4

4

 

D = 2 x 4444 - 1

=

 

8

8

8

7

 

Soit

 

 

 

 

 

 

4444² - 4443² = 8887

 

A = 6666

=

 

6

6

6

6

 

D = 2 x 6666 - 1

=

1

3

3

3

1

 

Soit

 

 

 

 

 

 

6666² - 6665² = 13331

 

 

 

DÉCOMPOSITION DES REPDIGITS

Comme tous les nombres, les repdigits

 

*  Se décomposent en différences de carrés

N = n² - m² = e . s

avec e = n-m et s = n+m

*  Sauf ceux de la forme

2 (2k + 1)

*  Ceux qui sont impairs donnent, en particulier deux nombres consécutifs

N = { (N+1)/2 }² - { (N-1)/2

 

 

 

REPUNIT

 

N = n² - m²

N

n

m

11

6

5

111

56

55

111

20

17

1111

556

555

1111

56

45

11111

5556

5555

11111

156

115

111111

55556

55555

111111

18520

18517

111111

7940

7933

Suite

Table des repdigits

 

 

 

REP 2

 

*  Tous de la forme: 2 x 111…11, un nombre pair-impair
=> Aucun ne peut être la différence de deux carrés.

 

 

REP 3

 

N = n² - m²

N

n

m

33

17

16

33

7

4

333

167

166

333

57

54

333

23

14

3333

1667

1666

3333

557

554

Suite

Table des repdigits

 

 

REP 4

 

N = n² - m²

N

n

m

44

12

10

444

112

110

444

40

34

4444

1112

1110

4444

112

90

44444

11112

11110

44444

312

230

Suite

Table des repdigits

 

 

REP 5

 

 

N = n² - m²

N

n

m

5

3

2

55

28

27

55

8

3

555

278

277

5555

2778

2777

55555

27778

27777

Suite

Table des repdigits

 

 

REP 6

 

*  Tous de la forme: 2 x 333…33, un nombre pair-impair
=> Aucun ne peut être la différence de deux carrés.

 

 

 

 

REP 7

 

N = n² - m²

N

n

m

7

4

3

77

39

38

77

9

2

777

389

388

7777

3889

3888

77777

38889

38888

Suite

Table des repdigits

 

 

REP 8

 

N = n² - m²

N

n

m

8

3

1

88

23

21

88

13

9

888

223

221

8888

2223

2221

88888

22223

22221

Suite

Table des repdigits

 

 

REP 9

 

 

N = n² - m²

N

n

m

9

5

4

99

50

49

99

18

15

99

10

1

999

500

499

9999

5000

4999

99999

50000

49999

Suite

Table des repdigits

 

 

 

 

 

 

Suite

*   Table des Repdigits

*   Carrés avec deux chiffres différents

*    Différence de carrés avec répétition de chiffres

*    S'y retrouver

Voir

*    AdditionGlossaire

*    Addition des carrés

*    Addition des entiers

*    Addition des puissances

*    Carré des repdigits

*    Carrés magiques

*    Conjecture de Goldbach

*    Identités remarquables

*    Impairs

*    Machine des frères Carissan

*    Nombres consécutifs

*    Palindromes

*    Repdigit

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