NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Algèbre

 

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Algèbre

 

 

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Euler & Riemann

Binôme

Spéciales

Puissance 5

xn – 1

(x+ x² + …) ^k

a^nb^n

Inverses

Divers

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Formule

>>> Explications

>>> Autres triplets

>>> Autres puissances

 

 

 

 

PUISSANCE 5 MAGIQUE!

 

Une curiosité

avec 2 880 =>

Tous les multiples de 2 880

sont somme algébrique

de huit puissances cinquièmes

Expliquée par

 

5² – 4²  – 3² =     0

54 – 44 – 34 = 288

 

Voici l'explication et la généralisation.

Encore un effet des triplets de Pythagore.

 

 

 

Approche

 

 

Sommes algébriques de huit puissances 5


et expression avec triplet de Pythagore, sauf que les nombres sont mis à la puissance 4.

 

2 880

= 15 +  15 + 25 + 35 – 45 – 45 – 55 + 65

= 10 (54 – 44 – 34) = 10 x 288

 

5 760 = 2 x 2 880

= 15 +  25 + 25 + 25 – 35 – 55 – 65 + 75

= 20 (54 – 44 – 34) = 20 x 288

 

8 640 = 3 x 2 880

= 05 +  15 – 25 + 35 + 35 – 65 – 75 + 85

= 30 (54 – 44 – 34) = 30 x 288

 

28 880 = 10 x 2 880

= 55  65 – 75 + 105 + 105 – 135 – 145 + 155

= 100 (54 – 44 – 34) = 100 x 288

 

 

 

 

Formule

 

N    = n5 – (n – 3)5 – (n – 4)5 + (n – 5)5

    + n5 – (n + 3)5 – (n + 4)5 + (n + 5)5

 

N est divisible par 2 880

 

Rappel

(a b)5  =  a 5   5 a4b + 10 a3b2   10 a2b3 + 5 ab4   b5

 

Voir Développement de la puissance 5

 

 

Calcul

 

Triplet de Pythagore

En colonne 3 du développement qui correspond à 5ab4:

 5 n (– 9 – 9 – 16 – 16 + 25 + 25) = 10 n (– 3² – 4² + 5²) = 2 880 n

 

Remarquable du fait que (3, 4, 5) forment un triplet de Pythagore.

Tout autre triplet induirait la même propriété. >>>

 

 

Exemple de calcul avec n = 1

N    = n5 – (n – 3)5 – (n – 4)5 + (n – 5)5  + n5 – (n + 3)5 – (n + 4)5 + (n + 5)5

N    = 15 – (1 – 3)5 – (1 – 4)5 + (1 – 5)5  +  15 – (1 + 3)5 – (1 + 4)5 + (1 + 5)5

N    = 15 – (– 2)5 – (– 3)5 + (– 4)5  +  15 – (4)5 – (5)5 + (6)5

N    = 15 + 25 + 35 – 45  +  15 – 45 – 55 + 65

N    = 1 + 32 + 243 – 1 024 + 1 – 1 024 – 3 125 + 7 776

N    = 8 053 – 5 173 = 2 880

 

 

 

 

Autres triplets – Exemples

Triplet (5, 12, 13)

 

N    = n5 – (n – 5)5 – (n – 12)5 + (n – 13)5

+ n5 – (n + 5)5 – (n + 12)5 + (n + 13)5

 

N est divisible par 72 000

 

72 000

= 15 +  15 + 45 – 65 + 115 – 125 – 135 + 145

= 10 (134 – 124 – 54) = 10 x 7 200

 

144 000 = 2 x 72 000

= 25 +  25 + 35 – 75 + 105 – 115 – 145 + 155

= 20 (134 – 124 – 54) = 20 x 7 200

 

Triplet (7, 24, 25)

 

N    = n5 – (n – 7)5 – (n – 24)5 + (n – 25)5

+ n5 – (n + 7)5 – (n + 24)5 + (n + 25)5

 

N est divisible par 564 480

 

564 480

= 15 +  15 + 65 – 85 + 235 – 245 – 255 + 265

= 10 (254 – 244 – 74) = 10 x 56 448

 

11 228 960 = 2 x 564 480

= 25 +  25 + 55 – 95 + 225 – 235 – 265 + 275

= 20 (254 – 244 – 74) = 20 x 56 448

 

 

 

 

Autres puissances

Puissance 2

N    = n2 – (n – 5)2 – (n – 12)2 + (n – 13)2

       + n2 – (n + 5)2 – (n + 12)2 + (n + 13)2

 

= 0

Puissance 3

N    = n3 – (n – 5)3 – (n – 12)3 + (n – 13)3

       + n3 – (n + 5)3 – (n + 12)3 + (n + 13)3

 

= 0

Puissance 4

N    = n4 – (n – 5)4 – (n – 12)4 + (n – 13)4

       + n4 – (n + 5)4 – (n + 12)4 + (n + 13)4

 

= 576

Puissance 5

N    = n5 – (n – 3)5 – (n – 4)5 + (n – 5)5

      + n5 – (n + 3)5 – (n + 4)5 + (n + 5)5

 

2 880 n

Puissance 6

N    = n6 – (n – 3)6 – (n – 4)6 + (n – 5)6

      + n6 – (n + 3)6 – (n + 4)6 + (n + 5)6

 

       8 640 n²

+ 21 600

 

 

 

 

 

 

Suite

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Voir

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