NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Analyse

 

Débutants

Général

TRIGONOMÉTRIE

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Trigonométrie

 

Analyse

 

Débutant

Introduction

Angles

Valeurs

Formules

Calculs

Pi / 5 = 36°

Cosécante

Cours première

Euler–Moivre

Pi / n

Linéarisation

Pi / 8 = 22,5°

Pi / 9

 

Sommaire de cette page

>>> Lignes trigonométriques de Pi/9

>>> Calcul du cosinus de Pi/9

>>> Calcul du cosinus de 2Pi/9

>>> Calcul du sinus de Pi/9

>>> Calcul du sinus de 2Pi/9

>>> Multiples et multiplications

 

 

 

 

 

Trigonométrie  de Pi/9  = 20°

Cet angle est le demi-angle au centre de l'ennéagone. Il est impliqué dans la construction type neusis de ce polygone à neuf côtés.

 

Les lignes trigonométriques de cet angle font intervenir des racines cubiques. La construction exacte de l'ennéagone est donc impossible à la règle et au compas. (Le nombre 9 n'est pas le produit de nombres de Fermat premiers distincts)

Voir  Angles en Pi/n – Table des valeurs trigonométriques

 

 

 Lignes trigonométriques de Pi/9

 

 

Formules de calcul avec Pi/9

Angle

Trigo

Valeurs

Décimal

Sinus

0,34202014332566873304…

9-gone

Cosinus

0,93969262078590838405…

Ennéagone

Tangente

0,36397023426620236135…

Cotangente

 

2,7474774194546222787…

Note: Attention à ne pas confondre 1 avec l'imaginaire i.

Voir Tables de ces formules en Pi / n

 

 

 

Autres formules de calcul avec Pi/9 et méthode de calcul

Le coefficient en puissance de 2 est conservé sous la racine cubique

Les approximations indiquées sont utilisées pour la construction approximative de l'ennéagone.

Approximation utilisée par Dürer:

 

 

Calcul du cosinus de Pi/9

 

MÉTHODE 1

L'angle triple (60°) est connu.

On utilise une identité invoquant l'angle triple.

 

4x3 – 3x = 1/2

La résolution de l'équation donne trois solutions dont celle-ci.

MÉTHODE 2

Solution plus astucieuse et "plus facile" à calculer avec la formule de Moivre

Demi-somme

Avec 3a = 60°

Avec une multiplication par 4 et extraction de 81/3 = 2

Histoire de conjugué

Pour réconcilier les deux formules trouvées.

 Voir Calcul des racines cubiques des nombres complexes

 

 

 

Calcul du cosinus de 2Pi/9

Avec 3a = 120°

Avec une multiplication par 4 et extraction de 81/3 = 2

 

 

 

 

Calcul du sinus de Pi/9

 

MÉTHODE 1

L'angle triple (60°) est connu.

On utilise une identité invoquant l'angle triple.

 

Mise en équation avec sin (20°) =  x

 

Résolution d'une équation du troisième degré

On donne la valeur de x et la valeur d'arcsin(x)

Soit trois racines réelles pour la valeur de x

-0,9848077530… => - 80,000…

  0,3420201434… =>   20,000…

   0,6427876097… =>   40,000…

 

Confirmation avec le graphe

Par calcul (fastidieux) ou avec un logiciel de calcul, la deuxième racine s'exprime par

Qui peut se résumer (pas facilement !) en:

Vérification avec un logiciel mathématique (Maple).

 

MÉTHODE 2

Demi-différence

Avec 60°

Petit calcul

 

           = 0,3420201433…

Suite en Justification de la construction de l'ennéagone

Voir Équation du troisième degré – Résolution trigonométrique

 

Calcul du sinus de 2Pi/9

Avec 3a = 120°

Avec une multiplication par 4 et extraction de 81/3 = 2

 

 

 

A noter: multiples multipliés

Identités particulières

 

Voir Loi de Morrie

 

 

 

Identité de Ramanujan

= 0,4934146259…

 

 

 

 

 

Retour

*    Division du cercle en parts égales

Bases

*    Trigonométrie – Débutant

*    Trigonométrie – Tables

*    Trigonométrie – Formulaire, identités, relations

Voir

*    Angles

*   Angles en Pi/n – Table des valeurs trigonométriques

*    Calculs en trigonométrie (avancés)

*    Calculs en trigonométrie (simples)

*    Ennéagone et Pi/9

*    Faire le tour du cercle (relations de base)

*    Heptagone et Pi/7

*    Sinus et aire du triangle isocèle

*    Table trigonométrique pour angles en fraction de Pi

Aussi

*    Triangle

*    Pentagone

*    Identités remarquables

Sites

*    Trigonometry Angles Pi/9 – Wolfram MathWorld

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http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Trigonom/aaaBases/Pisur9.htm