NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Atlas des maths

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BRÈVES de MATHS – Page 50

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

Curiosités et amusements mathématiques

 

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

980.            Carré et cercle

 

La question

Comment retenir les formules de calcul du périmètre et de l'aire du cercle ?

 

Le plus simple

Je sais qu'il y a un 2 un Pi et un R, mais où est le 2 ?

Ah oui ! Une aire est un produit de longueur, donc une longueur au carré. Je mets donc R². Ce qui donne:
A = π R2  et P = 2 πR.

 

Sinon

Je reconstruis cette figure mentalement. Le périmètre de ce carré  et 8 R, celui du cercle est juste un peu plus petit avec environ 6 R; en fait 2 π R.

L'aire de ce carré est 4R², celle du disque est juste inférieure. Environ 3R²; en fait π R².


 

 

Note: on se souvient que, par simplification, on écrit:
 

  

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981.            Chiffres de l'économie

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982.            Produit dans le triangle de Pascal

 

 

Propriété

 

Dans le triangle de Pascal, le produit des pétales bleus est toujours égal au produit des pétales jaunes.

 

 

Exemple

   6 × 35 × 28 = 7 × 15 × 56

                      = 5 880

 

 

Triangle de Pascal

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983.            Factorielle – Chiffres significatifs

 

Quantité de "0"

La quantité de "0" est due aux facteurs 5 et 10.

 

  5! = 120 avec un seul "0" car un seul 5 comme facteur.

10! = 3628800 avec deux "0" car 5 et 10 comme facteurs

 

Formulation

Les crochets fermés en bas signifie plancher (en anglais: floor).

 

Pour n = 50, il y a 12 zéros.

Pour n = 100, il y a 24 zéros.

 

 

Exemple pour n = 50 pour lequelQ0 = 12

 

 

Trouver les deux derniers chiffres significatifs d'une factorielle: dizaines (d) et unités (u).

 

Mod 100 signifie: reste de la division par 100.

Ajuster le mod 100 à la quantité désirée de chiffres.

 

 

Exemples

Pour   50, Ndu = 12

Pour 100, Ndu = 64

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>>> mod (modulo)

 

 

984.            Nombres 123 et 321

 

  

Divisions produisant des quotients avec deux décimales singulières: croissance de l'une et décroissance de l'autre.

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985.            Nombres symétriques

 

Racine des nombres palindromes "en toit"

(En référence à la symétrie par rapport au chiffre central)

 

Note: la racine carrée de 123456789 est 11111,111060…

 

Amusements sur calculette proposés par Paul Villemin

 

 

Voir Brève de maths n° 583 / Palindromes

n

Exemple de

multiplication posée

121

11

12321

111

1234321

1 111

123454321

11 111

12345654321

111 111

1234567654321

1 111 111

123456787654321

11 111 111

12345678987654321

111 111 111

 

 

Comparaison

 

 

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>>> Racines carrées des repunit

>>> Repunits

 

 

 

986.            Château de cartes

 

Problème

Combien de cartes pour construire un château de cartes de n étages ?

 

Commentaires

Sur ce château de quatre étages (n = 4) chaque triangle est formé de trois cartes, sauf au pied.

 

On compte les triangles

Liste des quantités de cartes pour un château de n rangées de 1 à 50:

2, 7, 15, 26, 40, 57, 77, 100, 126, 15510, 187, 222, 260, 301, 345, 392, 442, 495, 551, 61020, 672, 737, 805, 876, 950, 1027, 1107, 1190, 1276, 136530, 1457, 1552, 1650, 1751, 1855, 1962, 2072, 2185, 2301, 242040, 2542, 2667, 2795, 2926, 3060, 3197, 3337, 3480, 3626, 377550.

 

Record de 1992 pour le château le plus haut par Bryan Berg: 75 étages. Au lieu des triangles, il arrange les cartes verticalement en carrés. Le record en 12 heures atteint 50 étages – Tian Rui en 2022.

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Anglais House of cards, card tower, card castle

 

 

987.            Triangle inscrit dans le cercle

 

Problème

On donne un cercle et un triangle inscrit. On connait la longueur des segments indiqués, portés par les médiatrices des côtés.

Quelle est l'aire du triangle ? Longueur des côtés ?

 

Indice

Calculer les longueurs des côtés et l'aire

*       en fonction du rayon du cercle,

*       puis trouver la longueur de ce rayon.

 

Commentaire

La solution n'est pas aussi simple que ne le laisse supposer la figure !

 

Quelle est l'aire du triangle ?

Pour info: cette figure est exacte en proportions.

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988.            Combien de carrés ?

 

Question

Comment compter tous les carrés présents dans une grille carrée ?

Ne pas oublier les carrés de toute taille.

 

Calcul

Si n est la taille de la grille (quantité de carrés élémentaires sur un côté), alors la quantité totale de carrés est égale à la somme de tous les nombres au carrés de 1 à n.

  

 

Formules

 

Exemple n = 4

Q(4) = 4² + 3² + 2² + 1²

= (4 × 5 × 9)/6 = 30

  

 

Illustration

 

Liste pour n de 1 à 25

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525

 

 

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989.            Narcissiques généralisés

 

 

Type de partition des nombres

Nombres égaux à la somme de ses chiffres à une puissance ou des chiffres d'une puissance chacun pouvant être également portés à la même puissance.

Nombres dits: narcissiques de Keith.

 

Description

Le nombre 21, par exemple, est la somme de ses chiffres (2+1) et de ceux de son cube (9+2+6+1).

C'est aussi la somme de ses chiffres (2+1) et de ceux de sa puissance cinquième (4+0+8+4+1+0+1).

 

Autre exemple, le nombre 205 est la somme des chiffres de son carré (42 025), chacun porté au cube.

 

 

Exemples

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990.            Principe des tiroirs

 

Principe des tiroirs.

Se dit pigeonhole principle (principe du pigeonnier) en anglais

Dans la situation de gauche, où se place le dixième pigeon ?

Nécessairement dans l'un des neuf trous !

Un des trous contiendra au moins deux pigeons.

 

Dans la situation de droite, le même principe s'applique même pour plus de pigeons. Si n est la quantité de trous:

*      à gauche: n + 1 pigeons.

*      à droite: 2n + 1 pigeons.

 

  

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991.            Relation entre 99 et 100

 

Petite énigme

Calcul simple avec une identité remarquable: développement du carré (a + b)² = a² + 2ab + b²

n est la quantité de chiffres répétés

 

 

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992.            Nombre 333 et 111 222

Curiosité qui produit un motif répétitif

 


 

D'une manière générale:

 

Son calcul

Avec d'autres chiffres

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993.            Trois cercles tangents

 

 

Problème

 

Trois cercles tangents de diamètre 6, 4 et 3.

 

Quelle est la valeur de L ?

 

Solution

 

Joindre les centres des cercles deux à deux pour faire apparaitre deux triangles rectangles ABD et BCE.

Avec le théorème de Pythagore:

AB² = DB – AD²
      = 5² – 1² = 24 = 4
× 6
BC² = BE² - CE²
      = (7/2)² – (5/2)² = 24/4 = 6

 

  

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994.            Multiplications par 9…9

 

Il suffit de faire -1 (bleu) et soustraire; le résultat (rouge) tombe directement.

 

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995.            Démonstrations muettes

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996.            Ramsey: R(3,3) = 6

 

Cinq sommets

Ce pentagone avec ses diagonales est colorié avec deux couleurs. Il serait toujours possible de dessiner un triangle rouge ou bleu.

Mais, cet exemple montre qu'il est aussi possible d'éviter d'avoir un de ces triangles d'une seule couleur.

 

Six sommets

Avec un hexagone et ses diagonales, toujours avec deux couleurs, le coloriage de tous les segments fera inévitablement apparaitre un triangle d'une seule couleur.

Vous pouvez imaginer un jeu de coloriage tour à tour. Le premier qui a dessiné un triangle de sa couleur a perdu.

 

Conclusion: nombre de Ramsey

Avec six sommets, et pas cinq, un triangle bleu ou rouge sera toujours présent.

 

On dit que le nombre de Ramsey R(3, 3) est égal à 6, six comme la quantité de sommets de l'hexagone et trois symbolisant les triangles.

   

 

Application: théorème des amis

Supposons que six personnes soient réunies lors d'un dîner.

Alors, il y a nécessairement un groupe de trois personnes à la fête qui sont:

*      soit toutes des connaissances communes,

*      soit toutes des étrangers les uns pour les autres.

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997.            Triangle équilatéral inscrit

 

Construction

Un cercle de rayon unité (r = 1).

Construction classique de la rosace.

On dispose de six points également repartis sur la circonférence.

En choisissant un point sur deux, on construit le triangle équilatéral.

 

But

Calculer la longueur du côté du triangle équilatéral, son aire et le ratio entre les deux surfaces disque et triangle équilatéral.

 

Aires

 

 

Pour un cercle unité, la longueur du côté du triangle équilatéral inscrit est racine de 3.

   

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998.            Calcul avec des puissances

 

Comment calculer cette simple expression en puissance de 9 ?

Ce n'est pas 930 !

 

C'est trois fois le nombre 910.

Et, en remarquant que 9 = 32, il est possible d'associer ce 3 avec les 3² sous la puissance.

  

 

 

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999.            Longueur – Énigme

 

Problème

Sur cette figure, il y a trois rectangles dont on connait deux longueurs et deux aires.

Calcul la longueur x.

 

Solution

* en notant que a/b = x/y ó ay = bx

  

 

Le calcul de l'aire des rectangles bleus en fonction de x permet de trouver la valeur de x.

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