NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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   TRIANGLES

 

Débutants

Triangle

Propriétés – Curiosités

 

Glossaire

Triangle

 

 

INDEX

 

Types de triangles

 

Triangle

Point Milieu

Droites et points

Pappus

Point et triangles

Angles (180°)

Quantité de triangles

Torricelli

Triangles et triangles

Quatre triangles

Heilbronn

Carrés triangles

Représentation

Brocard

Cercles et triangles

 

Sommaire de cette page

>>> Triangles de Heilbronn

>>> Décompte des triangles

>>>  Nombres de Heilbronn

 

 

 

 

 

TRIANGLE de HEILBRONN

 

Problème de géométrie qui consiste à placer des points pour maximaliser une surface. Pas si simple! Objet de recherche par ordinateur.

 

Hans Heilbronn (1908-1975), mathématicien allemand, naturalisé canadien.

 

 

 

TRIANGLE de HEILBRONN

 

 Problème

 

*    Répartir n points dans un carré, tels que le triangle le plus petit soit le plus grand possible.

n est supérieur à 2.

La figure est un carré ou un autre polygone, ou un cercle.

 

Définition

 

*     Les nombres de Heilbronn sont l’aire de ces triangles dans un carré unité et selon la quantité de points.

  

 

 

Décompte des triangles

 

n = 3

Configuration quelconque                  Configuration optimale

 

*           Un seul triangle possible et son aire est égale à ½

 

 

n = 4

Décompte des triangles (2 + 2 = 4)                  Configuration optimale

 

*           Quatre triangles possibles et l'aire maximale est égale à ½

 

 

n = 5

Décompte des triangles (6 avec A, 3 avec B et 1 avec C)

                                                                           Configuration optimale

 

*           Dix triangles possibles et l'aire maximale est égale à 3 / 9

 

n = quelconque

 

*           Quantité de triangle T = n (n – 1) (n – 2) / 6

 

Voir Dénombrement

 

 

Nombres de Heilbronn pour le carré

0,1924 = 3 / 9

5e nombre de Heilbronn.

0,125

6e nombre de Heilbronn.

0,0838

7e, très difficile à calculer.

0,0723 = (13-1)/36

8e

0,0548 = (965 – 55)/320

9e

1 / n²

ne , hypothèse de Heilbronn pour n grand.

1 / n

amélioration par Roth en 1951

log n / n²   et  1 / n8/7

Limites trouvées en 1982.

1 / n3

Cas de points disposés au hasard :

Démontré en 1999 par Paul Vitanyi, Ming Li & Tao Jiang

 

 


 

 

Suite

*    Compter les triangles

Voir

*    Carré dans le triangle, construction astucieuse

*    Carrés

*    Cercle

*    Droite

*    Géométrie Index

*    JeuxIndex

*    Nombres triangles

*    Polygone

*    TriangleIndex

Site

*    Heilbronn Triangle Problem – Wolfram MathWorld

*    Comellas and Yebra avec coordonnées des points.

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Particul/Heilbron.htm