NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Nombres de Kaprekar

>>> Propriétés de ces nombres

>>> Anglais

>>> Table de nombres de Kaprekar

 

 

 

 

NOMBRES de KAPREKAR

 

Avec le carré: le nombre N à D chiffres est un nombre de Kaprekar si en partageant son carré en deux nombres de D chiffres, la somme de ces deux nombres est égale à N.

 

Généralisation à l'ordre k: si le nombre à la puissance k, partagé en k nombres de D chiffres,  leur somme est égale à N.

 

 

Anglais: N is a Kaprekar number if it has D digits, and if you take N2 and divide it into two pieces each D digits in size and add them together, you get N.

Voir Pépites

 

 

NOMBRES de KAPREKAR

 

Nombre tel que son carré, dont on ajoute les parties, redonne le nombre de départ.

 

                 297² = 88 209   &                088 + 209 = 297

  

Note: on ajoute des 0 à gauche si nécessaire pour satisfaire la définition demandant D chiffres pour chacun de nombres.

 

Lorsqu'on élève au carré un nombre de Kaprekar à n chiffres et qu'on ajoute les n chiffres de droite au n, ou n-1, de gauche, on retrouve le nombre d'origine.

 

Liste des nombres de Kaprekar

Suite en Tables

 

Les propriétés avec 999   se retrouvent avec 666 … et  333…

 

Curiosités avec repdigits

 

Voir Nombres à motifs / Somme des chiffres d'une puissance / Repdigits en 9

  

 

Propriétés des nombres de Kaprekar

 

Repdigit en 9

 

Tous les repdigits en 9 sont des nombres de Kaprekar.

 

                 99² = 9801                           &    98 + 1 = 99

                 999² = 99801                      &    998 + 1 = 999

                                                          

                 99…9² = 99…98 00…01   &    99...98 + 1 = 99…9

 

  Permutations cycliques

 

Si on élève au carré une permutation cyclique d'un nombre de Kaprekar

et qu'on additionne les " moitiés ", on obtient une permutation cyclique du nombre de départ.

Avec les autres puissances le procédé de troncature fonctionne encore. Avec la puissance n, il faut partager en n parts égales. Une addition supplémentaire est parfois nécessaire lorsque le nombre final est trop grand.

 

 

 

 

ENGLISH CORNER

 

The Kaprekar routine is an algorithm discovered in 1949 by D. R. Kaprekar for 4-digit numbers, but which can be generalized to k-digit numbers.

 

The Kaprekar numbers:

*    Take a four-digit number with different digits.

*    (2) Form the largest and the smallest number from these four digits

*    (3) Find the difference of these digits.

You may have to repeat this procedure.

The end result is always 6174, but there are no more than seven steps.

 

A Kaprekar's famous discoveries is the Kaprekar constant, or 6,174. Although this number may seem ordinary on the surface, it is actually quite spectacular! Take any four digit number of your choice. Arrange the digits in descending order and subtract the digits arranged in ascending order. Keep doing this over and over and in no more than 7 tries, you will have 6,174.

 

 

Tables de nombres de Kaprakar d'ordre 2 à 5

 

 Voir TablesIndex

 

 

 

 

Suite

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*    Nombre 82 962 & 98 622

Sites

*    OEIS A006886 – Kaprekar numbers

*    OEIS A053816 – Another version of the Kaprekar numbers

*    Listes de nombres de Kaprekar – Robert Munafo

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/KaprekaN.htm