NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Syracuse – Débutant

 

 

Sommaire de cette page

 

>>> Les deux plus classiques

>>> Les suites à l'envers

>>> Arbre d Collatz

 

>>> Extension aux nombres négatifs

>>> La suite en 2n et 5n + 1

 

>>> Les suites voisines

Syracuse – Développement

Syracuse - Variantes

Syracuse – Algèbre (2x3y)

Syracuse – Tables

Syracuse et nombre 27

Syracuse – Programmation

 

 

 

Le PROBLÈME 3x + 1

Conjecture de Collatz

VARIANTES

 

Les recherches autour de cette simple conjecture sont passionnées. Il y a eu recrudescence des investigations depuis l'avènement des ordinateurs: aussi bien pour le profane qui cherche à se faire plaisir par ses découvertes que par les plus brillants mathématiciens qui cherchent toujours à démontrer la conjecture. Alors, d'autres suites ont émergé, sans égaler l'originale.

Voir Découverte Junior des cycles tels que celui de Syracuse / Conjectures

 

 

Les deux plus classiques (descente vers 1)

Suite normale

Suite compressée

Dans les deux cas, un nombre pair est divisé par 2 autant que possible pour atteindre un nombre impair.

On constate que, de toute manière, un nombre impair se transforme en nombre pair. Avec la forme compressée, la division par 2 est opérée systématiquement, supprimant une étape de calcul.

 

Dans tous les cas le nombre impair suivant est atteint avec la formule indiquée.

Généralement, on ne s'intéresse qu'à la suite des nombres impairs qui est la même quelle que soit le type de suite envisagée.

 

Formule

 

avec k = ord2(3x+1): le plus grand entier tel que le dénominateur divise le numérateur.

 

Exemple

c(17) = 13, C(13) = 5 et C(5) = 1

 

 

 

Les suites à l'envers (montée à partir du 1)

Suite normale inverse

Suite compressée inverse

La suite est explorée à partir de 1. L'arbre se dédouble pour n ayant un reste de 4 lorsque divisé par 6 ( 4 mod 6) pour la suite inverse normale.

La démonstration de la conjecture consiste, alors à prouver que tous les netiers sont atteint par les branches de l'arbre.

Notez la formation de la boucle en bas de l'arbre.

 

Arbre de Collatz à 10 étages (suite compressée inverse)

Voir Animation pour 19 étages en cercle – Jason Davies

 

 

Extension aux nombres négatifs

La transformation normale de Collatz des nombres négatifs engendrent de nombreuses boucles.

Nous sommes toujours

avec n/2 et 3n + 1

 

 

Exemples (n, longueur, [suite])

 

-1, 1[-1, -2 …]

-2, 1, [-2, -1…]

-3, 5, [-3, -8, -4, -2, -1, -2…]

-4, 3, [-4, -2, -1, -2 …]

-5, 5, [-5, -14, -7, -20, -10, -5 …]

-6, 6, [-6, -3, -8, -4, -2, -1, -2 …]

-7, 5, [-7, -20, -10, -5, -14, -7 …]

-8, 4, [-8, -4, -2, -1, -2 …]

-9, 12, [-9, -26, -13, -38, -19, -56, -28, -14, -7, -20, -10, -5, -14 …]

-10, 5, [-10, -5, -14, -7, -20, -10 …]

-17, 18, [-17, -50, -25, -74, -37, -110, -55, -164, -82, -41, -122, -61, -182, -91, -272, -136, -68, -34, -17 …]

-21, 24, [-21, -62, -31, -92, -46, -23, -68, -34, -17, -50, -25, -74, -37, -110, -55, -164, -82, -41, -122, -61, -182, -91, -272, -136, -68 …]

 

Exemple avec -13

 

 

 

La suite en 2n et 5n + 1

 

La suite est définie de la même manière que celle de Collatz en changeant le coefficient 3 par 5.

 

 

Exemples (n, longueur, [suite])

 

1,5, [1, 3, 8, 4, 2, 1]

2, 2, [2, 1]

3, 6, [3, 16, 8, 4, 2, 1]

4, 3, [4, 2, 1]

5, 9, [5, 26, 13, 66, 33, 166, 83, 416, 208, 104, 52, 26, 13 …]

6, 7, [6, 3, 16, 8, 4, 2, 1]

7, ?, [7, 36, 18, 9, 46, 23, 116, 58, 29, 146, 73, 366, 183, 916, 458, 229, 1146, 573, 2866, 1433, 7166, 3583, 17916, 8958, 4479, 22396, 11198, 5599, 27996, 13998, 6999 …]

8, 4, [8, 4, 2, 1]

9, ?, [9, 46, 23, 116, 58, 29, 146, 73, 366, 183, 916, 458, 229, 1146, 573, 2866, 1433, 7166, 3583, 17916, 8958, 4479, 22396, 11198, 5599, 27996, 13998, 6999, 34996, 17498, 8749 …]

10, 31, [10, 5, 26, 13, 66, 33, 166, 83, 416, 208, 104, 52, 26, 13, 66, 33, 166, 83, 416, 208, 104, 52, 26 …]

 

Nous avons trois types de suite:

*    suite se terminant par 1, comme pour toutes celles de Collatz (conjecture);

*    suite aboutissant à une boucle (cas de n = 5 o u 10); ou

*    suite qui semble se poursuivre jusqu'à l'infini (cas de n = 7 ou 9). Sans doute une suite divergente, mais à ce jour, ce n'est pas démontré.

Nous ne savons pas non plus expliquer cette différence de comportement entre la 3n +1 et la 5n + 1.

 

 

 

Les suites voisines

En 3n – 1

En an + b

 

La suite se termine par 1 ou forme une boucle:

 

Exemples (n, longueur, [suite])

1, 1, [1]

2, 2, [2, 1]

3, 5, [3, 8, 4, 2, 1]

4, 3, [4, 2, 1]

5, 5, [5, 14, 7, 20, 10, 5, …]

6, 6, [6, 3, 8, 4, 2, 1]

7, 5, [7, 20, 10, 5, 14, 7, …]

8, 4, [8, 4, 2, 1]

9, 12, [9, 26, 13, 38, 19, 56, 28, 14, 7, 20, 10, 5, 14, …]

10, 5, [10, 5, 14, 7, 20, 10, …]

 

 

La suite se termine par 1 ou forme une boucle:

 

Exemples avec n + 5

1, 1, [1]

2, 2, [2, 1]

3, 5, [3, 8, 4, 2, 1]

4, 3, [4, 2, 1]

5, 3, [5, 10, 5, …]

6, 6, [6, 3, 8, 4, 2, 1]

7, 8, [7, 12, 6, 3, 8, 4, 2, 1]

8, 4, [8, 4, 2, 1]

9, 10, [9, 14, 7, 12, 6, 3, 8, 4, 2, 1]

10, 2, [10, 5, 10, …]

 

Ces suites, comportant des boucles, présentent beaucoup moins d'intérêt que la suite de Collatz; ce qui illustre son originalité!

 

Autres …

D'autres suites on été imaginées:

*    Extension aux nombres rationnels,

*    avec nombres binaires,

*    avec nombre 2-adiques,

*    avec nombres complexes et débouché sur des fractales.

 

 

 

 

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Suite

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*    Syracuse – Découverte junior

*    Fractales et cycles

*    Autres, voir en haut de page

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*    Boucle infernale

*    Boucle SP (Somme x Produit)

*    Calcul mentalIndex

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