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Édition du: 30/07/2022

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Empilement des sphères

Diagramme de Voronoï

Problème de Kakeya

Les quatre couleurs

Conjecture de Poincaré

Faites un double-clic pour un retour en haut de page

 

 

Problème de KAKEYA

ou de l'aiguille qui tourne

 

Faire faire un tour complet à une aiguille en balayant l'aire minimale. L'aiguille ne peut que glisser ou tourner tout en restant dans le plan.

 

Quelle est la valeur de cette aire minimale ? L'aire du disque. Pas si simple; il y a mieux, nettement mieux …

 

*      Le cas d'une surface balayée convexe a été résolu: c'est un triangle équilatéral.

*      Le cas d'une surface quelconque reste ouvert. La meilleure solution connue indique que la surface balayée peut être aussi petite que l'on veut, sans toutefois être nulle. 

*      Étendue à la théorie des nombres, le problème est devenu la conjecture de Kakeya. Prouvée en 2022 dans le cadre des nombres modulo m. Elle reste non élucidée pour les nombres réels.

 

 

Sommaire de cette page

>>> Le problème de l'aiguille de Kakeya

>>> Solution du deltoïde

>>> Solutions des fils tendus

>>> Jonction de Pal

>>> Construction de Besicovitch

>>> De 1919 à 2008 – La solution Besicovitch

>>> Solutions modernes: 2008 à 2022

  

Débutants

Géométrie

 

Glossaire

Géométrie

 

 

 

Le problème de l'aiguille de Kakeya

haut

 

Disque

 

Une aiguille de longueur unité.
Mathématiquement un segment (épaisseur nulle).

 

Elle doit faire un tour complet dans le plan.

 

Si on fait pivoter l'aiguille autour de son centre, la surface balayée est un disque.

 

Est-ce que l'aire balayée est la plus petite ?

 

Solution la plus évidente.

 

 

Triangle de Reuleaux (cercle "aplati")

 

Le triangle de Reuleaux est connu.  Avec sa forme arrondie, il permet notamment la construction de moteur rotatif.

 

Pour sa construction, on utilise un triangle équilatéral et, sur chaque côté, on dessine le segment de cercle avec le sommet opposé comme centre et la longueur du côté comme rayon.

 

L'aiguille tourne d'un sixième de tour (60°) autour d'un des sommets et, ayant atteint un autre sommet, elle se met à tourner à partir de ce sommet, etc.

 

 

 

Solution qui diminue l'aire de la surface balayée par l'aiguille.

 

 

 

Triangle équilatéral

Pourquoi conserver les bords arrondis ?

 

Avec un triangle équilatéral ayant la longueur de l'aiguille pour hauteur (1), on balaye selon le sixième de tour matérialisé en pointillés, passant de position 0 à la position 2.

Puis, une translation le long du côté permet de passer en position 3 et de poursuivre en balayant sur un nouveau tiers de tour. Etc.

 

En 1921, le mathématicien hongrois Julius Pal (1881-1946) démontre qu’il n’existe pas de domaine convexe plus petit que le triangle équilatéral et qui autorise le retournement de l’aiguille.

   

   

Meilleure solution "convexe"

Encore un nouveau gain.  Est-ce la limite ?

Oui, pour une surface convexe; non dans le cas général.

 

Solution du deltoïde

haut

 

 

 

Deltoïde

La deltoïde est la trajectoire d'un point d'un cercle lorsque celui-ci roule sans glisser à l'intérieur d'un cercle trois fois plus grand.

 

L'aiguille tourne avec ses deux extrémités parcourant deux arcs tandis qu'elle reste tangente au troisième arc.

 

Le problème a été posé en 1917 par Soichi Kakeya. Il trouva rapidement la solution deltoïde.

Conjecturant que c'était la meilleure solution,  les mathématiciens essayèrent de prouver qu'il s'agissait de la surface minimale, sans vraiment chercher mieux. Puis …

 

  

 

Meilleure solution "non- convexe" ?

On l'a longtemps cru !

Cette fois, avec cette solution, on doit tenir la limite !

Voir Brève 917

 

 

Solutions des fils tendus

haut

 

Fils tendus  sur axes perpendiculaires

 

Pourtant, une nouvelle technique originale est possible: les extrémités de l'aiguille glissent à la fois sur deux axes perpendiculaires.

 

Pou réaliser le tour complet, il faut quatre fois cette figure.

 

Il est possible d'optimiser en utilisant  une autre valeur d'angle. Ci-dessous, un angle de 120°.

 

L'enveloppe des droites est une hyperbole.

 

 

 

Angles plus grands

Motif élémentaire et regroupement, ici,  par trois pour faire le tour complet.

 

L'analyse de ces cas montre qu'à partir de l'étoile à treize branches l'aire balayée est inférieure à 0,5. En augmentant la quantité l'aire décroit encore puis se met à croitre.

  

  

Une solution encore meilleure de la deltoïde avec environ quinze branches.

  

 

 

Jonction de Pal

haut

 

Rotation de l'aiguille

On va prendre une image avec un train (figuré en bleu) qui remontre les rails vers un aiguillage et recule sur la voie d'à côté.

Cette opération fait tourner le train d'un angle alpha et cela en balayant la petite surface rouge.

En reproduisant cette opération en cercle, on peut faire tourner le train de 360°.

En diminuant l'angle, la surface rouge tend vers 0 et même en multipliant par une infinité  d'aiguillages, l'aire devrait être voisine de zéro. Eh bien NON !

 

Voir Zéro x Infini = indéterminé

    

Le principe général

 

Le segment bleu navigue dans cette ligne en V. Il tourne d'un angle alpha en balayant  la seule surface rouge, aussi petite que l'on veut en réduisant l'angle.

 

L'aire du secteur vaut    et alors .

C'est l'aire du secteur unité. Donc, pas la bonne solution ! Mais le principe est le bon.

 

Construction de Julius Pal

 

Changement de tactique: on cherche une méthode pour passer d'une droite à sa voisine qui lui est parallèle.

On montre que ce double aiguillage, conduit à une aire balayée (rouge) aussi pette que l'on veut, car:

  

 

Bilan: jonction de Julius Pal

 

Étant donné deux lignes parallèles, un segment peut passer de l'une à l'autre avec une surface d'aire aussi petite que l'on veut.

Sur l'illustration, la surface verte suffit.

 

  

 

 

Construction de Besicovitch

haut

 

Ensembles (ou figures) de Besicovitch (1891-1970)

 

Inventé pour montrer que le retournement de l'aiguille peut être réalisé dans une surface d'aire aussi petite que l'on veut.

Ce sont des figures dont la petitesse est sans limite mais qui permettent toutes le retournement de l'aiguille.

    

 

Construction de Besicovitch

Dans un premier temps on balaye un secteur aussi petit que l'on veut. Sans autre procédé on aboutit à une surface balayée dont l'aire est celle du disque.

L'astuce consiste à partager le secteur en deux et à les superposer. Alors, on sait balayer dans chacun des secteurs et l'aire balayée est plus petite que celle du secteur initial, voire proche de zéro si on diminue la taille du secteur.

Mais comment passer d'un demi-secteur à l'autre ? Avec le procédé de Pal !

 

 

Combinaison des deux opérations

 

Répétée sur un tour, ces opérations permettent la rotation complète de l'aiguille pour une surface balayée aussi proche de zéro que l'on veut.

 

Balayage des secteurs

Passage d'un secteur à un autre

 

 

Cette aire est aussi petite que l'on veut.

       Celle-ci tend vers zéro.

 

Assemblage des secteurs (exemple)

 

Pour minimiser la surface balayée, Besicovitch va plus loin.

Au lieu de partager en deux, il partage en quatre ou même plus. Il regroupe ces lamelles en gerbes au niveau du pied, puis par le milieu  et encore plus haut, puis …

On montre que l'aire obtenue est la moitié de celle du départ avec quatre étages  et diminue avec plus d'étages.

  

 

Réduction de l'aire par le facteur que l'on veut en augmentant la quantité de regroupements par étages.

 

Le résultat est un arrangement fractal complexe avec une zone qui peut être rendue arbitrairement petite, ce qui équivaut à n'avoir aucune aire du tout.

 

 

 

 

De 1919 à 2008 – La solution Besicovitch

haut

 

Aire pratiquement nulle !

Dès 1928*, Abram Besicovitch démontre qu'il n'y a pas de limite.

* Études réalisées dès 1919 indépendamment de Kakeya et publiées en 1928.

 

L'aire peut être aussi proche que l'on veut de zéro sans être nulle.

 

Sa démonstration utilise un principe très particulier de son invention associé aux jonctions de Pal.

 

La méthode de construction itérative qui rend l'aire aussi petite que l'on désire s'appelle l'arbre de Perron.

 

 

La méthode utilisée par Besivovitch est expliquée dans le livre de Borelli et Rullière – page 111 et suite.
Voir explication sommaire ci-dessus.

 

 

Ensemble de Kekaya ou de Besicovitch

Ensemble de points d'un espace euclidien qui contient un segment de droite de longueur unité dans chaque direction.  

 

Conjecture de Kakeya

Elle porte sur la taille minimale des ensembles de Kekaya en dimension quelconque.

Cette conjecture annonce que l'ensemble de Kekaya doit avoir une dimension (fractale) minimale en fonction de n au sens Hausdorff ou Minkowski.

 

La preuve existe pour n = 2 (le plan) et la propriété est toujours à démontrer pour n supérieur.

 

 

Un ensemble de Kakeya construit avec l'arbre de Perron

"À la limite, c'est une chose étrange qui ressemble à un hérisson" dit Zeev Dvir, auteur de nouvelles preuves à Princeton

  

 

 

Solutions modernes – Théorie des nombres

haut

 

Zeev Dvir, mathématicien et informaticien à l'Université de Princeton, a prouvé la conjecture de Kakeya pour certains systèmes de nombres finis avec son étudiant, Manik Dhar.

 

   

Zeev Dvir et Manik Dhar

 

L'ensemble de Besicovitch est formé d'un ensemble de points.

Comment sont-ils répartis ?

 

Pour poursuivre les investigations, la notion d'aire n'est pas suffisante.

Approche (caractérisation) via la notion de dimension fractale (Hausdorff et Minkowski).

 

La conjecture de Kakeya prédit que les dimensions de Hausdorff et de Minkowski d'un ensemble de Kakeya doivent être aussi grandes que possible.

 

Nombres premiers

La piste des ensembles de Kakeya pour étudier  les nombres premiers n'est pas évidente.

 

   

Il s'agit essentiellement de travailler sur la répartition des nombres premiers, caractérisée par des progressions arithmétiques.

 

 

 

Nombres réels

Le fait que l'aire s'approche de zéro sans l'atteindre fait penser aux nombres rationnels que l'on peut rendre très proche d'un nombre réel mais sans l'atteindre.

Voir Coupure de Dedekind

 

L'arithmétique modulaire semble un axe de recherche prometteur.

 

 Difficultés: les nombres réels sont en quantité infinie non-dénombrable. Ils remplissent continument la droite des nombres.

 

En 2008, Zvir a résolu la conjecture de Kakeya dans le système de nombres congruents dont le module est premier.

En 2020, Zvir et Dhar tendent la démonstration aux nombres composés produit de deux premiers. Ils utilisent une représentation matricielle: points en colonnes et directions en lignes. Les propriétés trouvées pour cette matrice seront celles de l'ensemble. Ils ont montré qua la taille de la matrice est nécessairement très grande.

 

 

Les mathématiciens explorent cette piste, aussi avec l'outil des nombres p-adiques, pour parfaire les connaissances en théorie des nombres.

 

En 2021, Bodan Arsovski (université de Londres) étend la preuve de la conjecture pour les nombres premiers portés à une puissance. Son outil, les nombres p-adiques.

 

Derniers développements

 

La conjecture de Kakeya est démontrés pour les nombres discrets dans divers systèmes.

 

Elle reste ouverte pour les nombres réels.

Certains mathématiciens doutent qu'elle soit vérifiée dans ce cas-là.

 

 

En octobre 2021, Dhar prouve la conjecture de Kakeya pour tout module, premiers comme composés.

En 2022, Salvatore prouve la conjecture pour les corps locaux (localement compact) à caractéristique positive.

 

 

Source: certaines illustrations proviennent du livre indiqué en référence

La vision moderne est insprirée du texte de Kevin Hartnett de juillet 2022

 

Avertissement

Comme c'est habituel avec ces pages, le sujet est volontairement traité de façon simple, abordable par une majorité d'internautes.

Pour un traitement plus mathématique, se reporter aux nombreux sites internet, surtout en anglais, dont de nombreuses vidéos.

 

Je recommande le livre et la vidéo de Vincent Borelli et als.

 

 

Anglais

Take a needle and rotate it all the way around. What’s the smallest area that you can cover?

Kakeya was curious about the smallest area required in the two-dimensional plane to turn a one-dimensional line of a given length so that it eventually points in all directions

The Kakeya conjecture predicts how much room you need to point a line in every direction.

Voir Anglais pour le bac  et pour les affaires 

 

 

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Livre

*      En cheminant avec Kakeya – Voyage au cœur  des mathématiques – Vincent Borelli et Jean-Luc Rullière – ESN éditions – 2014  (Téléchargement 163 pages gratuit)

Sites

*      L'aiguille de Kakeya avec Vincent Borelli – Vidéo par Mickaël Launay – 31 mars 2022 – Durée 1h30 – Coller-copier le titre dans votre moteur de recherche

*      Problème de l'aiguille de Kakeya – Wikipédia

*      A Question About a Rotating Line Helps Reveal What Makes Real Numbers Special – Kevin Hartnett – Quanta Magazine – 26 Juillet 2022

*      Kakeya set - Wikipedia

*      Kakeya needle problems – Wolfram MathWorld

*      The Kakeya Needle Problem and Besikovitch Set** - Debashis Chatterjee and Priyankur Chowdhury – 2013

*      From Rotating Needles** to Stability of Waves: Emerging Connections between Combinatorics, Analysis and PDE – Terence Tao

*      An Introduction to Besicovitch-Kakeya Sets* – Christopher J. Bishop and Stony Brook – 2013

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Geometri/Kakeya.htm