NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NOMBRES

 

Débutants

Nombres et

Puissances de 10

PUISSANCES

 

Glossaire

Puissances

 

 

INDEX

 

Puissance

 

Décomposition

 

Carrés

Cubes

Puissance 4

Puissances 2 à 9

Calculs

Multi-puissances

Exposants

Consécutives

 

Sommaire de cette page

>>> Puissance quatrième

>>> Expression complexe d'une puissance quatrième

>>> Derniers chiffres des puissances 4

>>> Somme de quatre puissances quatrièmes

>>> Nombre en n4 – 1 et n4 + 1

 

 

 

NOMBRES en PUISSANCE 4

Bicarrés

 

Note: la dernière égalité est spécifique à la puissance 2 avec 2+2 = 2x2.

Anglais: fourth power, biquadratic number, tessaractic numbers

 

 

Puissance quatrième

Liste des 50 premières puissances quatrièmes produites par une simple instruction Maple.

 

 

Expression complexe d'une puissance quatrième et calcul de la racine quatrième

Exemple de calcul

(a + ia) (a + ia) (a + ia) (a + ia)

= (a² + 2ia² – a²) (a² + 2ia² – a²)

= (2ia²) (2ia²) = 4i² a4  = –4a4

Expression des quatre racines quatrièmes de nombres positifs et négatifs

 

 

 

Voir Racines  / Formule de De Moivre

 

 

Derniers chiffres des puissances 4

 

Nombres de 1 à 50

ordonnés selon les deux derniers chiffres (dizaines-unités) de leur puissance quatrième.

 

Que deviennent les milliers, centaines, dizaines et unités (MCDU) de la puissance quatrième pour l'unité u de n ?

u = 0 => MCDU = 0000

u = 5 => MCDU = 0625

u = (1, 3, 7, 9) => DU = (01, 21, 42, 61, 81) avec U = 1 et D un nombre pair.

u = (2, 4, 6, 8) => DU = (16, 36, 56, 76, 96) avec U = 6 et D un nombre impair.

 

 

Somme de quatre puissances quatrièmes

 

Nombres < 100 somme de quatre bicarrés

 

Nombres < 1000 somme de quatre bicarrés distincts

 

Théorème de Waring

 

Tout nombre est somme d'au plus 19 bicarrés.

 

Voir  Développements sur sommes de puissances 4

 

 

Nombre en n4 – 1 et n4 + 1

 

Nombre n4 – 1 pour n de 1 à 15

Identification des plus grands facteurs par ordre croissant:

n, n4 – 1, Fle plus grand

1, 0, 0

2, 15, 5

3, 80, 5

4, 255, 17

5, 624, 13

6, 1295, 37         (tous ces nombres

7, 2400, 5                  sont composés)

8, 4095, 13

9, 6560, 41

10, 9999, 101

11, 14640, 61

12, 20735, 29

13, 28560, 17

14, 38415, 197

15, 50624, 113

Facteur le plus grand dans les nombres n4 – 1 pour n de 1 à 100; liste jusqu'à 100:

0, 5, 13, 17, 19, 23, 29, 37, 41, 53, 61, 67, 71, 73, 89, 97.

 

Rappel: n4 – 1 =  (n – 1) (n + 1) (n² + 1)               

 

Nombre n4 + 1 pour n de 1 à 15

Identification des plus grands facteurs par ordre croissant:

n, n4  1, Fle plus grand

1, 2, 2   Premier

2, 17, 17   Premier

3, 82, 41

4, 257, 257   Premier

5, 626, 313

6, 1297, 1297   Premier

7, 2402, 1201

8, 4097, 241

9, 6562, 193

10, 10001, 137  (le plus petit pour n > 4)

11, 14642, 7321

12, 20737, 233

13, 28562, 14281

14, 38417, 937

15, 50626, 1489

 

Facteur le plus grand dans les nombres n4 + 1 pour n de 1 à 100; liste jusqu'à 1000:

2, 17, 41, 137, 193, 233, 241, 257, 313, 521, 601, 673, 809, 929, 937.

 

 

 

Suite

*         Caractérisation des bicarrés

*         Nombres bicarrés  = sigma . phi

*         Développements sur sommes de puissances 4

*         Bicarrés – Diviseurs

*         Équation du quatrième degré

*         Table des puissances de 2 à 9

Voir

*         Exposants à étages

*         Motifs en  ab . ba.

*         Nombres  produits  de nombres consécutifs portés à la même puissance

*         PuissanceIndex

*         Puissances – Table de valeurs

*         Puissances de 2

*         Puissances de 2 à 5

*         Puissances et chiffres permutés

DicoNombre

*         Nombre 625

Sites

*         Fourth power – Wikipedia

*         OEIS A00583 – Fourth powers: a(n) = n^4

*         Diophantine Equation--4th Powers – Mathworld – Eric Weisstein

*    Sum of Fourth Powers – Tito Piezas

*    Sums of four or more Fourth Powers – Tito Piezas

*    Fourth roots calculator – CalculatorSoup

*         Autres sites

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http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/PUISSANC/Puissan4.htm