NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 02/09/2020 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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INDEX Angles	Pour Pi = 3,14	Wallis
	Sommaire de cette page >>> Formule 1 – Pairs sur impairs >>> Formule 2 – Que des carrés >>> Formule 3 – Avec des carrés en haut >>> Formule 4 – Calcul limite

FORMULE de WALLIS pour

C'est la formule de John Wallis, trouvée en 1655 et publiée dans Algebra en 1685. Il s'agit d'un des premiers produits infinis de l'histoire. Sa connaissance était anecdotique à l'époque.

Wallis a réalisé de longs calculs pour aboutir à cette formule. Il essayait de calculer l'intégrale de qui est en fait l'aire du cercle unité. Il calcule le cas général de la racine énième en utilisant la méthode de Cavalieri. Ne sachant pas calculer les puissances fractionnaires (les racines), il procède par interpolation, mot qu'il emploie. Sa méthode servira à Newton pour mettre au point la formule du binôme.

Cette formule (du moins l'intégrale originelle) servira à Fourier (1768-1830) pour résoudre son équation de la chaleur. Elle a permis à William Brouncker d'obtenir un développement en fraction continue généralisée de 4 / .

Formule 1 – Pairs sur impairs

Formule (ou produit de Wallis)

Voir Produit des pairs ou des impairs

La formule est plaisante, car elle présente les nombres pairs au carré au numérateur et les nombres impairs au carré au dénominateur.

On la trouve aussi sous la forme:

Cette forme au carré est aussi agréable à voir, mais elle présente un gros piège: la valeur du dénominateur donne un nombre de trop. Par exemple, en l'arrêtant à 7, il y a un 7 de trop du fait du carré.

Premières valeurs

= 2 x 4/3 = 2,666…

= 2 x 4/3 x 16/15 = 2, 666… x 1,066… = 2, 84…

= 2 x 4/3 x 16/15 x 36/35 = 2,84 … x 1,028… = 2,92 …

Convergence vers et programme Maple

n = 5 3, 0…

50 3, 112…

500 3, 140…

5 000 3, 1414…

50 000 3, 14157…

3, 14159265…

Convergence ultra-lente! Seulement quatre décimales en cent mille itérations.

Démonstration

Produit infini pour le sinus
Avec x = Pi/2
Soit pour Pi /2

Formule 2 – Que des carrés

Rappel = 2 x 4/3 x 16/15 x 36/35 x 64/63 x 100/99 … Chaque terme est une fraction dont le dénominateur est égal au numérateur moins 1. Nouvelle formulation Le numérateur étant le carré des nombres pairs, la formule de Wallis devient: Ou encore: Avec l'opérateur produit: Il n'y pas de magie.L'explication fait intervenir les identités remarquables: (a² – 1) = (a – 1) (a + 1) Et ici: (2n)² – 1 ) = (2n – 1) (2n + 1) Exemple avec n = 3: 6² – 1 = 5 x 7 On retrouve bien le produit de deux impairs successifs.

Formule 3 – Avec des carrés en haut

Sur le même principe que ci-dessus: le produit deux nombres séparés de deux unités peut se mettre sous la forme d'un carré moins 1. Nous avions: 5 x 7 = 6² – 1 car 6² – 1 = (6 – 1) (6 + 1). Nous avons aussi: 4 x 6 = 5² – 1 car 5² – 1 = (5 – 1) (5 + 1). En reprenant la formule initiale et en arrangeant les nombres pairs: Cette mise en forme introduit un 2 initial et un 8 en trop; d'où les adjonctions en bleu dans la formule suivante/ On trouve fréquemment ce type de formule sous la forme imprécise suivante: Et pourquoi pas mettre des carrés en haut et en bas, sachant que 2 x 4 = 3² – 1 et que 1 x 3 = 2² – 1

Formule 4 – Calcul limite

Formule présentée sous la forme d'une limite et faisant intervenir les factorielles. Voici quelques valeurs qui montrent la lenteur de la convergence: n = 1 4, 2 3,55555555… 3 3,41333333… 4 3,34367346… 5 3,30239355… 6 3,27510104… 7 3,25572174… 8 3,24125187… 9 3,23003646… 10 3,22108899… 1000 3.14237815… Variantes (pas plus rapide!) L'intégrale de Wallis est à l'origine de cette formulation. Et, le développement de ses produits factoriels permet de retrouver les formules indiquées ci-dessus.

Sir John WALLIS (1616-1703 87 ans)

Né à Ashford et mort à Oxford – Angleterre. Prêtre qui passe ses loisirs avec l'arithmétique et la musique. Mathématicien et physicien; aussi adepte de phonétique (orthophonie), d'astronomie, de botanique, de musique … Un des membres fondateurs de la Royal Society en 1663. Père de la cryptologie anglaise. Par ses cryptanalyses, il aide Olivier Cromwell (1599-1658) à gagner la guerre civile et à déjouer le complot du roi Charles 1^er contre le Parlement. Charles est le petit-fils de Marie Stuart, il finira la tête tranchée comme elle et, dans les deux cas, suite au décryptage de leurs messages secrets. Crée le symbole pour l'infini. Utilise les exposants négatifs et fractionnaires. Publie: Arithmetica infinitorum en 1656. Newton s'appuiera sur ce document pour ses propres travaux Étudie l'intégrale dite de Wallis: Voir Série infinie Baguenaudier Ondes stationnaires Wallis et nombres complexes

Bilan

1. La formule de Wallis et très esthétique sous sa forme originale ou ses variantes.

2. Wallis a le mérite d'avoir été le premier à découvrir le développement de Pi en un produit infini de fractions rationnelles.

3. Même si l'utilité d'une telle formule est limitée du fait de sa convergence très lente vers la valeur de Pi.

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Voir	Angles Angles – Unités Divers types d'angles par leur nom Radian Trigonométrie Valeurs trigonométriques
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