NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 16/11/2015

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

ANGLES

 

Débutants

Géométrie

Formules

 

Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

Angles

 

Pour Pi = 3,14

Wallis

 

Sommaire de cette page

>>> Formule 1 – Pairs sur impairs

>>> Formule 2 – Que des carrés

>>> Formule 3 – Avec des carrés en haut

>>> Formule 4 – Calcul limite

 

 

 

 

 

 

FORMULE de WALLIS pour  

  

 

C'est la formule de John Wallis, trouvée en 1655 et publiée dans Algebra en 1685. Il s'agit d'un des premiers produits infinis de l'histoire. Sa connaissance était anecdotique à l'époque.

 

Wallis a réalisé de  longs calculs pour aboutir à cette formule. Il essayait de calculer l'intégrale de   qui est en fait l'aire du cercle unité. Il calcule le cas général de la racine énième en utilisant la méthode de Cavalieri. Ne sachant pas calculer les puissances fractionnaires (les racines), il procède par interpolation, mot qu'il emploie. Sa méthode servira à Newton pour mettre au point la formule du binôme.

 

Cette formule (du moins l'intégrale originelle) servira à Fourier (1768-1830) pour résoudre son équation de la chaleur. Elle a permis à William Brouncker d'obtenir un développement en fraction continue généralisée de 4 / .

 

 

 

Formule 1 – Pairs sur impairs

 

Formule (ou produit de Wallis)

 

 

Voir Produit des pairs ou des impairs

 

*       La formule est plaisante, car elle présente les nombres pairs au carré au numérateur et les nombres impairs au carré au dénominateur.

*       On la trouve aussi sous la forme:

 

 

Cette forme au carré est aussi agréable à voir, mais elle présente un gros piège: la valeur du dénominateur donne un nombre de trop. Par exemple, en l'arrêtant à 7, il y a un 7 de trop du fait du carré.

 

 

Premières valeurs

 

  = 2 x 4/3               = 2,666…

  = 2 x 4/3 x 16/15 = 2, 666… x 1,066… = 2, 84…

  = 2 x 4/3 x 16/15 x 36/35     = 2,84 … x 1,028… = 2,92 …

 

Convergence vers

                                    n = 5                  3, 0…

                                        50                  3, 112…

                                      500                  3, 140…

                                   5 000                  3, 1414…

                                 50 000                  3, 14157…

                                                            3, 14159265…

 

*       Convergence ultra-lente! Seulement quatre décimales en cent mille itérations.

 

 

 

Formule 2 – Que des carrés

 

Rappel

 

  = 2 x 4/3 x 16/15 x 36/35 x 64/63 x 100/99 …

 

*       Chaque terme est une fraction dont le dénominateur est égal au numérateur moins 1.

 

Nouvelle formulation

 

*       Le numérateur étant le carré des nombres pairs, la formule de Wallis devient:

 

Ou encore:

 

Avec l'opérateur produit:

 

*       Il n'y pas de magie.L'explication fait intervenir les identités remarquables:             (a² – 1)   =  (a – 1) (a + 1)

Et ici:                          (2n – 1 ) = (2n – 1) (2n + 1)

Exemple avec n = 3:     6² – 1   =        5     x    7
On retrouve bien le produit de deux impairs successifs.

 

 

 

Formule 3 – Avec des carrés en haut

 

*      Sur le même principe que ci-dessus: le produit deux nombres séparés de deux unités peut se mettre sous la forme d'un carré moins 1.
Nous avions:               5 x 7 = 6² – 1 car 6² – 1 = (6 – 1) (6 + 1).
Nous avons aussi:      4 x 6 = 5² – 1 car 5² – 1 = (5 – 1) (5 + 1).

 

*      En reprenant la formule initiale et en arrangeant les nombres pairs:

 

Cette mise en forme introduit un 2 initial et un 8 en trop; d'où les adjonctions en bleu dans la formule suivante/

 

 

 

On trouve fréquemment ce type de formule sous la forme imprécise suivante:

 

 

 

*      Et pourquoi pas mettre des carrés en haut et en bas, sachant que
2 x 4 = 3² – 1 et que 1 x 3 = 2² – 1

 

 

 

 

Formule 4 – Calcul limite

 

 

 

*      Formule présentée sous la forme d'une limite et faisant intervenir les  factorielles. Voici quelques valeurs qui montrent la lenteur de la convergence:

                   n = 1          4,

                        2            3,55555555…

                        3            3,41333333…

                        4            3,34367346…

                        5            3,30239355…

                        6            3,27510104…

                        7            3,25572174…

                        8            3,24125187…

                        9            3,23003646…

                       10          3,22108899…

                   1000          3.14237815…

 

*      Variantes (pas plus rapide!)

 

 

*      L'intégrale de Wallis est à l'origine de cette formulation. Et, le développement de ses produits factoriels permet de retrouver les formules indiquées ci-dessus.

 

 

 

Sir John WALLIS (1616-1703 87 ans)

 

 

*      Né à Ashford et mort à Oxford – Angleterre.

*      Prêtre qui passe ses loisirs avec l'arithmétique et la musique.

*      Mathématicien et physicien; aussi  adepte  de phonétique (orthophonie), d'astronomie, de botanique, de musique …

*      Un des membres fondateurs de la Royal Society en 1663.

 

*    Père de la cryptologie anglaise.

Par ses cryptanalyses, il aide Olivier Cromwell (1599-1658) à gagner la guerre civile et à déjouer le complot du roi Charles 1er contre le Parlement. Charles est le petit-fils de Marie Stuart, il finira la tête tranchée comme elle et, dans les deux cas, suite au décryptage de leurs messages secrets.

*    Crée le symbole  pour l'infini.

*    Utilise les exposants négatifs et fractionnaires.

*    Publie: Arithmetica infinitorum en 1656. Newton s'appuiera sur ce document pour ses propres travaux

*    Étudie l'intégrale dite de Wallis:  

 

Voir

*    Série infinie

*    Baguenaudier

*    Ondes stationnaires

*   Wallis et nombres complexes

 

 

 

Bilan

1.    La formule de Wallis et très esthétique sous sa forme originale ou ses variantes.

2.   Wallis a le mérite d'avoir été le premier à découvrir le développement de Pi  en un produit infini de fractions rationnelles.

3.   Même si l'utilité d'une telle formule est limitée du fait de sa convergence très lente vers la valeur de Pi.

 

 

 

 

Suite

*    Formules donnant PI

*    Angle droit

Voir

*    Angles

*    Angles – Unités

*    Divers types d'angles par leur nom

*    Radian

*    Trigonométrie

*    Valeurs trigonométriques

DicoNombre

*    Nombre 90

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Angle/Wallis.htm