|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
13-GONE Régulier / Tridécagone 13-gone ou tridécagone:
polygone à treize côtés ou treize angles. Il est régulier si les côtés sont de même longueur et si les angles
ont même mesure. Le nombre 13 n'est pas un nombre de
Fermat,
|
Voir Nombre 13
Valeur de Pi/13 et
approximations
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Voir Nombre
13,846…
|
Pi/13 =
13.8461538…° |
2Pi/13 =
27.6923076…° |
|
Formules diverses |
|
|
sinus |
0,239315664… |
0,4647231719 |
|
|
|
cosinus |
0,970941817… |
0,8854560257 |
||
|
tangente |
0,246477863… |
0,5248404872 |
||
|
cotangente |
4,05715948… |
1,905340812 |
Voir Tables
trigonométriques / Relations entre
angles Pi/n / Pi/13
et triangle équilatéral
|
|
||
|
Longueur
côté: a = 10 (pour la figure) Angle au
centre
Angle
interne (somme 1 980 °)
Rayon du
cercle inscrit ou apothème
|
|
|
|
Diagonales Longueur
de la diagonale k, avec k la quantité de côtés interceptés par la diagonale. Quantité
|
|
|
||||||||||||||
|
Aire 13 fois l'aire des triangles élémentaires |
|
= 13.1857683… a² |
||||||||||||||
Voir Calcul de la longueur / Tables / Quantité
d'intersections des diagonales
Hendécagone avec ses quatre
variantes étoilées
|
|
||
|
Le nombre 13 n'est pas un nombre de
Fermat, le tridécagone régulier n'est pas constructible
à la règle et au compas. |
Le nombre 13 est un nombre de
Pierpont, le tridécagone régulier est constructible par trisection. Le tridécagone régulier est constructible par neusis. Voir Construction
neusis animée sur Wikpedia |
|
|
Pour une construction pratique et rapide, on peut
profiter du fait que la longueur du côté est voisine (un peu moins) de la
moitié du rayon du cercle circonscrit. On trace le cercle bleu puis le trait vert d'une
longueur à peine inferieure à la moitié du rayon. Pour un rayon de 10 m, on
prendra 4,78 m. Reporter cette distance sur la circonférence du
cercle avec un compas ou un bâton coupé à cette mesure. La construction de Dürer
(non
exposée ici) est sans doute proche de celle-ci. |
|
|
|
|||
|
Construction Triangle équilatéral
ABC. Milieu D de BC. Milieu E de BD. L'angle alpha vaut pratiquement Pi/13, le demi-angle
au centre du tridécagone. Cercle (A, AB). Intersection H avec AE. Reporter la longueur de la corde BH, le long du
cercle. Minimiser la propagation de l'erreur en partant
du point diamétralement opposé à H (légitime car AH porte l'apothème et son
opposé sera un sommet). Joindre un point sur 2. En prime le tracé du
26-gone en joignant tous les points. |
|
||
|
Écart: Sur alpha: 0,052° (0,37 %) Soit 361,34° sur la circonférence Voir Calcul |
|
||
Voir Méthode de construction approchée générale
|
Construction approchée 2
–Simple également |
|
|
|
Construction Cercle de
rayon AB. Médiatrice
du segment AB. Intersections
D et C1 qui sera le premier sommet. Point F
symétrique de B par rapport à C1. Grand
cercle (F, FD); intersection G. Reporter
la longueur C1G sur le
cercle pour obtenir les douze autres sommets: C2, C3, …
(dans l'ordre). Appréciation Angle
110,7474 …pour quatre fois l'angle au centre. Soit: Erreur relative: 0,0197...% |
|
|
|
Construction approchée 3 |
|
|
|
Construction du point 9 Cercle
bleu avec deux diamètres perpendiculaires. Tracés 1,
2, 3 et 4 en rose. Puis, 5,
6 et 7 en vert. Enfin 8,
l'oblique en pointillés violets et 9, le segment bleu. Les
segments bleus forment un angle de 138,49286…° proche de 138,4615…° , cinq
fois l'angle du tridécagone. Tracé du tridécagone Le point
9 (en haut) ou C6 (en bas) est éloigné de 5 sommets de C1. Cercle
vert (A, AC6): intersection C9, éloignée de cinq sommets de C1 symétrique de
C6. Cercle
rose (C6, C6C9): intersection C3, éloignée de deux de C1. Corde
C1C3 et son milieu M: intersection C2. On
dispose d'un arc élémentaire C1C2 ou C2C3. Report de
cet arc sur la circonférence; exemple avec le petit cercle noir en pointillé
et la détermination du sommet C13. Appréciation Le
tridécagone exact avec C1C2 pour côté
s'inscrit correctement dans le cercle à l'échelle de ce dessin. Il s'en
éloigne, en fait, de plus de plus pour atteindre un maximum en C7 et C8 (Illustration en bas). Le report de l'angle construit conduit à:
Erreur relative: 0,023...% |
|
|
|
Méthode TRÈS TRÈS proche |
Voir Description animée sur Wikipedia Écart
de 1 sur 1015 (1mm sur 1 milliard de km) Autres constructions >>> |
|
Nombres hendécagonaux
Formule
Écart entre chaque nombre: 11n + 1 Les cinquante premiers 0, 1, 13, 36, 70, 115, 171, 238, 316, 405, 505,
616, 738, 871, 1015, 1170, 1336, 1513, 1701, 1900, 2110, 2331, 2563, 2806,
3060, 3325, 3601, 3888, 4186, 4495, 4815, 5146, 5488, 5841, 6205, 6580, 6966,
7363, 7771, 8190, 8620, 9061, 9513, 9976, 10450, 10935, 11431, 11938, 12456,
12985, 13525 Polynôme générateur
|
Voir Table des
nombres polygonaux / Polynômes
générateurs
|
Suite |
|
|
Voir |
|
|
Aussi |
|
|
Document |
|
|
DicoNombre |
|
|
Sites |
|
|
Cette page |
