NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Polygones

 

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Sommaire de cette page

>>> Trigonométrie de Pi/13

>>> Anatomie du tridécagone

>>> Constructible ?

>>> Construction à la main

>>> Constructions approchées

>>> Nombres tridécagonaux

 

 

 

 

13-GONE Régulier / Tridécagone

 

13-gone ou hendécagone: polygone à treize côtés ou treize angles.

Du grec hendeka: onze; et gônia: angle, coin et proche de genou.

Il est régulier si les côtés sont de même longueur et si les angles ont même mesure.

Le nombre 11 n'est pas un nombre de Fermat,

*      l'angle Pi/13 ne pas s'exprimer avec une forme comprenait des radicaux.

*      l'hendécagone régulier n'est pas constructible à la règle et au compas.

 

 

Français

tridecagone

triskaidécagone

Anglais

tridecagon

triskaidecagon

Allemand

Dreizehneck

Tridekagon

Espagnol

Tridecagono

 

 

Voir  Nombre 13

 

Valeur de Pi/13 et approximations

*      Demi-angle au centre du tridécagone régulier.

*      Très bonne approximation de Pi/13.

*      Angle de la semi-médiane du triangle équilatéral.

*      Valeur approchée de Pi/13

Voir  Nombre 13,846…

 

 

Trigonométrie de Pi/13

Trigo.

Pi/13

= 13.8461538…°

2Pi/13

= 27.6923076…°

 

Formules diverses

sinus

0,239315664…

0,4647231719

cosinus

0,970941817…

0,8854560257

tangente

0,246477863…

0,5248404872

cotangente

4,05715948…

1,905340812

Voir Tables trigonométriques / Relations entre angles Pi/n / Pi/13 et triangle équilatéral

 

 

Anatomie du tridécagone régulier

 

Longueur côté: a = 10 (pour la figure)

 

Angle au centre

 

Angle interne (somme 1 980 °)

 

Rayon du cercle inscrit ou apothème

 

Rayon du cercle circonscrit

   

 

Diagonales

Longueur de la diagonale k, avec k la quantité de côtés interceptés par la diagonale.

Quantité

 

k

Longueur

2

1,941883634

3

2,770912052

4

3,438905131

5

3,907041545

6

4,148114905

  

Aire

13 fois l'aire des triangles élémentaires

= 13.1857683… a²

Voir Calcul de la  longueur / Tables / Quantité d'intersections des diagonales

 

 

Hendécagone avec ses quatre variantes étoilées

 

 

 

 

Constructible ?

 

Le nombre 13 n'est pas un nombre de Fermat, le tridécagone régulier n'est pas constructible à la règle et au compas.

 

 

Le nombre 13 est un nombre de Pierpont, le tridécagone régulier est constructible par trisection.

 

Le tridécagone régulier est constructible par neusis.

 

Voir Construction neusis animée sur Wikpedia

 

 

Construction à la main

Pour une construction pratique et rapide, on peut profiter du fait que la longueur du côté est voisine (un peu moins) de la moitié du rayon du cercle circonscrit.

On trace le cercle bleu puis le trait vert d'une longueur à peine inferieure à la moitié du rayon. Pour un rayon de 10 m, on prendra 4,78 m.

Reporter cette distance sur la circonférence du cercle avec un compas ou un bâton coupé à cette mesure.

La construction de Dürer (non exposée ici) est sans doute proche de celle-ci.

 

 

Construction approchée 1 – Simple et rapide

Construction

Triangle équilatéral ABC.

Milieu D de BC.

Milieu E de BD.

L'angle alpha vaut pratiquement Pi/13, le demi-angle au centre du tridécagone.

Cercle (A, AB).

Intersection H avec AE.

Reporter la longueur de la corde BH, le long du cercle.

Minimiser la propagation de l'erreur en partant du point diamétralement opposé à H (légitime car AH porte l'apothème et son opposé sera un sommet).

Joindre un point sur 2. En prime le tracé du 26-gone en joignant tous les points.

Écart:

Sur alpha: 0,052° (0,37 %)

Soit 361,34° sur la circonférence

Voir Calcul

Voir Méthode de construction approchée générale

 

 

 

Construction approchée 2 –Simple également

Construction

Cercle de rayon AB.

Médiatrice du segment AB.

Intersections D et C1 qui sera le premier sommet.

Point F symétrique de B par rapport à C1.

Grand cercle (F, FD); intersection G.

Reporter la longueur C1G  sur le cercle pour obtenir les douze autres sommets: C2, C3, … (dans l'ordre).

Appréciation

Angle 110,7474 …pour quatre fois l'angle au centre. Soit:
110,7474… x 13 / 4 = 359,93…°

 

Erreur relative: 0,0197...%

 

 

Construction approchée 3

Construction du point 9

Cercle bleu avec deux diamètres perpendiculaires.

Tracés 1, 2, 3 et 4 en rose.

Puis, 5, 6 et 7 en vert.

Enfin 8, l'oblique en pointillés violets et 9, le segment bleu.

 

Les segments bleus forment un angle de 138,49286…° proche de 138,4615…° , cinq fois l'angle du tridécagone. 

 

 

Tracé du tridécagone

Le point 9 (en haut) ou C6 (en bas) est éloigné de 5 sommets de C1.

Cercle vert (A, AC6): intersection C9, éloignée de cinq sommets de C1 symétrique de C6.

Cercle rose (C6, C6C9): intersection C3, éloignée de deux de C1.

Corde C1C3 et son milieu M: intersection C2.

On dispose d'un arc élémentaire C1C2 ou C2C3.
Angle: 27,7394…° au lieu de 27,6923…°; écart de 0,0471…°

Report de cet arc sur la circonférence; exemple avec le petit cercle noir en pointillé et la détermination du sommet C13.

 

 

Appréciation

Le tridécagone exact avec C1C2 pour côté s'inscrit correctement dans le cercle à l'échelle de ce dessin.

Il s'en éloigne, en fait, de plus de plus pour atteindre un maximum en C7 et C8 (Illustration en bas).

Le report de l'angle construit conduit à:

Erreur relative: 0,023...%

 

Méthode TRÈS TRÈS proche

Voir Description animée sur Wikipedia

Écart de 1 sur 1015 (1mm sur 1 milliard de km)

Autres constructions >>>

 

 

Nombres hendécagonaux

Nombres hendécagonaux

Somme des points sur le tridécagone et sur tous les tridécagones adjacents internes.

 

Formule

 

Écart entre chaque nombre: 11n + 1

 

Les cinquante premiers

0, 1, 13, 36, 70, 115, 171, 238, 316, 405, 505, 616, 738, 871, 1015, 1170, 1336, 1513, 1701, 1900, 2110, 2331, 2563, 2806, 3060, 3325, 3601, 3888, 4186, 4495, 4815, 5146, 5488, 5841, 6205, 6580, 6966, 7363, 7771, 8190, 8620, 9061, 9513, 9976, 10450, 10935, 11431, 11938, 12456, 12985, 13525

 

Polynôme générateur

  

Voir Table des nombres polygonaux / Polynômes générateurs

 

 

 

 

Suite

*    Méthode de construction approchée générale du tridécagone

*    Trisection et hendécagone

*    Dodécagone

*    Heptadécagone

Voir

*    Construction du pentagone

*    Polygone

*    Hexagone

*    Calcul de Pi

*    Partage du cercle en parts égales

Aussi

*    Constructibilité

*    GéométrieIndex

*    Partage du cercle

*    Rosaces

Document

*    Construction approchée de polygones réguliers – Jean-Louis Breuil

DicoNombre

*    Nombre 13

*    Nombre 13,846…

Sites

*    Tridécagone – Wikipédia

*    Trigonometry Angles Pi/13 – Wolfram MathWorld

*    A051865 – 13-gonal (or tridecagonal) numbers: a(n) = n*(11*n - 9)/2

*    Constructing a tridecagon (triskaidecagon) in a circumcircle with ruler and compass – Michael Hartley – Vidéo YouTube

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Polygone/Poly13.htm