NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 15/10/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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THÉORÈME NAPOLÉON

Triangles Napoléon / Points Napoléon

Présentation du triangle dit Napoléon et démonstrations du théorème Napoléon: la construction produit des triangles internes et externes qui sont équilatéraux. Les centres de gravité sont confondus avec celui du triangle original.

Napoléon était amateur de géométrie, mais aucune preuve ne permet de dire qu'il est à l'origine de ce théorème. Ce théorème est apparu en 1825 et c'est en 1911 que le nom Napoléon lui est attaché. On rapporte que Napoléon aurait soumis ce théorème à Lagrange et Laplace en 1797, et ce dernier lui aurait dit: Mon Général, nous nous attendions à tout de vous, sauf à des leçons de géométrie. Laplace devint son ingénieur militaire en chef.

Triangle Napoléon – En bref
Propriétés Un triangle quelconque (bleu). Les trois triangles équilatéraux externes sur les côtés. Les segments joignant un sommet "équilatéral" au sommet opposé du triangle quelconque sont de même longueur (ici 21). Le triangle (vert) dont les sommets sont les centres des triangles équilatéraux est un triangle équilatéral.
Démonstration de la première propriété Procéder à une rotation positive de 60° autour du point A. Le point D vient sur B Le point C vient sur F Alors, DC = BF. Même chose pour AE =BF.

Voir Brève 737

Théorème de Napoléon
Construction externe Un triangle quelconque (bleu). Les trois triangles équilatéraux (roses) construits sur chacun des côtés, vers l'extérieur. Leur centre de gravité (intersection des pointillés). Le triangle (jaune) dont les sommets sont ces trois centres de gravité est équilatéral. Théorème Dans un triangle quelconque, on relie les centres de gravité des trois triangles équilatéraux construits sur les côtés et pointant à l'extérieur. Le triangle obtenu est équilatéral. Condition Les angles du triangle sont tous différents.
Construction interne et relations Le théorème s'applique également pour les triangles équilatéraux construits en interne. Il existe donc deux triangles équilatéraux Napoléon (pointillés). Leur centre de gravité (G) est identique et c'est le centre de gravité du triangle original. C'est le point Napoléon externe, noté X(17) dans l'encyclopédie Kimberling Premier point de Fermat Voir figure ci-dessous à droite Les droites joignant un sommet du triangle Napoléon (vert) à un sommet éloigné du triangle original (rose) sont concourantes en O et égales (isométriques). Point de Fermat. Le point de concours O est aussi le point de concours des trois cercles circonscrits aux triangles équilatéraux.
Second point de Fermat Le pendant du premier mais avec les triangles équilatéraux construits vers l'intérieur. Aire du triangle externe Aire du triangle interne Ainsi la différence entre les aires des triangles Napoléon est égale à l'aire du triangle initial. Points de Napoléon Point de concours (N) des droites qui rejoignent les sommets du triangle initial aux centres de gravité des triangles équilatéraux. Notés X(17) et X18) dans l'encyclopédie Kimberling.

Voir Napoléon

Démonstration géométrique – Triangle équilatéral
Les côtés du triangle ABC mesurent a, b et c. On s'intéresse au sommet B. BG dans le triangle équilatéral BCF est un droite remarquable, en particulier bissectrice et l'angle CBF vaut 60 /2 = 30°, comme pour ABH L'angle HBG est donc égal à Restons sur le segment BG, une portion de la médiane du triangle équilatéral BCF. Sa mesure est connue:
On va maintenant résoudre le triangle BHG en invoquant la loi des cosinus.
Identité trigonométrique
En substituant
Loi des cosinus dans ABC
Loi des sinus pour l'aire S du triangle ABC
Retour à l'évaluation de w
Conclusion	Cette évaluation est indépendante de l'ordre dans lequel on prend les côtés a, b et c. En calculant la mesure des deux autres côtés du triangle Napoléon, on trouverait cette même valeur. Le triangle Napoléon est bien équilatéral.

Démonstration vectorielle – Centre de gravité
On dessine les vecteurs en g issu du centre de gravité du triangle initial (on dit aussi: l'isobarycentre). Les vecteurs en h sont issus du point milieu des côtés pour rejoindre le centre de gravité de chaque triangle équilatéral. Propriété du triangle équilatéral: les vecteurs en g ont mêmes mesures (un tiers de la médiane). Ils sont orientés à 120° les uns des autres. Leur somme est nulle.
Dans le triangle de base, les vecteurs-côtés ont une somme nulle.
Mis bout à bout les vecteurs en h forment un triangle semblable au triangle initial (Chacun est perpendiculaire aux côtés)
Le vecteurs entre centres de gravité sont somme des vecteurs en g et des vecteurs en h.
Cette relation montre que le centre de gravité du triangle initial est aussi celui du triangle formé par les centres de gravités des trois triangles équilatéraux. Elle ne signifie par que le nouveau triangle est équilatéral. Il faudrait montrer que les normes (longueur) des vecteurs sont égales. Voir ci-dessus

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Suite	Triangle de Vecten (avec les carrés sur les côtés) Problème du carré et des deux triangles équilatéraux Problème du rectangle et des deux triangles équilatéraux Napoléon – Construction du centre du cercle
Voir	Cercles Jeux – Index Résolution du triangle quelconque Symétries Types de triangles
Sites	Théorème de Napoléon – Wikipédia Théorème et points de Napoléon Napoleon's Theorem – Wolfram MathWorld Napoleon's Theorem, Two Simple Proofs – Cut The Knot – De nombreuses pages sur le theorème Napoléon Napoleon's Theorem by Vectors and Trigonometry – Cut The Knot
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Types/Napoleon.htm