NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres premiers

 

Introduction

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Propriétés

Infinité

Théorème des nombres premiers

Curiosités

Un

Sommes premiers

Somme des inverses

Somme des chiffres

 

Sommaire de cette page

>>> Somme des nombres premiers successifs

>>> Somme des inverses des nombres premiers

>>> Somme de premiers divise le produit

>>> Cumul des premiers – Programmation

>>> Somme de nombres premiers – Divisibilité par 2 ?

>>> Somme de nombres premiers – Divisibilité par pi ?

>>> Somme de nombres premiers = premiers?

>>> Somme de produits de premiers = premier ?

 

 

 

 

 

Sommes et produits

de nombres premiers

Propriétés

 

On connait la conjecture de Goldbach:

Tout nombre entier est la somme de trois nombres premiers et
Tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers.

On connait moins la propriété démontrée par Linnik:

Tout entier suffisamment grand est la somme de deux premiers et au plus k puissances de 2, k étant une constante. k = 1906 et même 200 en admettant l'hypothèse de Riemann.

 

Cette page propose une étude sur les propriétés générales de la somme des nombres premiers:

*       Somme des premiers de 2 à p; et de leur inverse.

*       Divisibilité de la somme: p  (p + p) ? et p  (p + p + p) ?

*       Fréquence des sommes premières: p + p = p ? p.p + p = p ? …

 

Un des résultats

La somme de deux produits de nombres premiers distincts n'est pas divisible par l'un de ces premiers  >>>

Ex: (3 x 7) + (5 x 11) = 76 =  2 x 2 x 19 qui n'est pas divisible par (3, 7, 5 ou 11).

 

 

 

Devinette 

La somme de deux nombres premiers p et q est impaire.

Que dire de la divisibilité du produit p.q ?

Solution

 

 

SOMME des nombres premiers successifs

 

Lecture: au rang 9, la somme de 2 + 3 + 5 + … + 23 = 100

 

Rang

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Premier

2

3

5

7

11

13

17

19

23

Cumul

2

5

10

17

28

41

58

77

100

Facteurs

2x5

2²x7

2x29

7x11

2²x5²

 

Rang

10

11

12

13

14

Premier

29

31

37

41

43

Cumul

129

160

197

238

281

Facteurs

3x43

25x5

2x7x17

 

Rang

15

16

17

18

19

Premier

47

53

59

61

67

Cumul

328

381

440

501

568

Facteurs

23x41

3x127

23x5x11

3x167

23x71

 

Rang

20

21

22

23

24

25

Premier

71

73

79

83

89

97

Cumul

639

712

791

874

963

1060

Facteurs

3²x71

23x89

7x113

2x19x23

3²x107

2²x5x53

 

Bilan: aucune formule exacte pour calculer la somme de rang k.
Formule approchée de Bach et Shallit:

 

Formule plus élaborée:

 

 

Observation: la somme cumulée est souvent composée, et au moins un des facteurs est parmi les termes de la somme. Dit-autrement: la somme cumulée et souvent divisible par un des premiers de la somme.

Liste des sommes cumulées jusqu'au centième premier

[2, 5, 10, 17, 28, 41, 58, 77, 100, 129, 160, 197, 238, 281, 328, 381, 440, 501, 568, 639, 712, 791, 874, 963, 1060, 1161, 1264, 1371, 1480, 1593, 1720, 1851, 1988, 2127, 2276, 2427, 2584, 2747, 2914, 3087, 3266, 3447, 3638, 3831, 4028, 4227, 4438, 4661, 4888, 5117, 5350, 5589, 5830, 6081, 6338, 6601, 6870, 7141, 7418, 7699, 7982, 8275, 8582, 8893, 9206, 9523, 9854, 10191, 10538, 10887, 11240, 11599, 11966, 12339, 12718, 13101, 13490, 13887, 14288, 14697, 15116, 15537, 15968, 16401, 16840, 17283, 17732, 18189, 18650, 19113, 19580, 20059, 20546, 21037, 21536, 22039, 22548, 23069, 23592, 24133]

En jaune les nombres premiers; 100 est le seul carré de cette liste; 4 888 est une curiosité de chiffres

 

Sommes pour les plages en puissances de 10

 

La formule simple conduit à une bonne approximation de la somme de premiers. La somme des entiers impairs est citée à titre de borne supérieure de la somme des premiers.

 

 

 

 

Somme des premiers  = Carrés (jusqu'au millionième premier)

Avec la somme des premiers impairs (tous sauf le 2)

(Rang ou quantité de termes dans la somme, ici sans le nombre 2, bien sûr)

Notez la présence du nombre 23 dans les deux tableaux.

 

Aucun cube = somme des premiers jusqu'au millionième premier

Et un seul pour les premiers impairs: 3 + 5 = 8 = 23

 

Voir Somme des nombres premiers (Tables) / Formule de la somme des entiers

 

Merci à Gérard Lopez pour ses contributions

 

Somme des inverses des nombres premiers

 

La divergence de cette série a été  prouvée par Euler en 1737 pour la première fois (Diverses observations relatives aux séries infinies).

 

Sa démonstration originale (aves les produits d'Euler) est considérée comme la base de la théorie analytique des nombres.

 

Il disait: cette somme progresse vers l'infini moins vite que la série harmonique. Elle varie comme le logarithme de celle-ci.

 


 

 

Somme alternée des inverses des nombres premiers

 

 

Anglais: the sum of the reciprocals of the prime numbers

 

 

Somme des premiers – Programmation

 

 

Commentaires

Trois façons de calculer le cumul des nombres premiers avec Maple.

1) Instruction isprime qui teste si un nombre est premier.
Boucle en n de 1 à 30. Si n est premier, la somme S est mise à jour et sa valeur est ajoutée à la liste L.
Programme le plus simple.

 

2) Instruction nextprime qui donne directement le premier suivant.
Celui-ci est ajouté à la somme et la somme est introduite dans la liste L.
Programme le plus économique.

 

3) Instruction ithprime qui pointe directement vers le ième nombre premier.
Définition d'une suite de nombres (seq) allant de j  = 1 à 10.
Ce nombre est le cumul (add) des ièmes premiers de i = 1 à j.
Programme le plus astucieux, mais pas économique.

 

Voir ProgrammationIndex

 

 

Somme cumulée divisible par  p ; par 100

Valeurs de p telle que p divise la somme cumulée des nombres premiers jusqu'à p:

2, 5, 71, 369 119, 415 074 643 …

 

Valeurs de p telle que 100 divise la somme cumulée des nombres premiers jusqu'à p:

23, 563, 937, 2099, 3371, 5407, 6977 …

 

 

Somme de premiers qui divise le produit

Quels sont les cas où la somme cumulée des nombres premiers divise le produit de ces premiers (primorielle)

 

Exemple avec k = 3 puis k = 8 nombres premiers

 

 

Liste des valeurs de k
telles que la somme des k premiers divise leur produit.

 

[1, 3, 8, 13, 23, 38, 39, 41, 43, 48, 50, 53, 56, 57, 58, 66, 68, 70, 73, 77, 84, 90, 94, 98, 126, 128, 134, 140, 143, 145, 149, 151, 153, 157, 160, 164, 167, 168, 172, 174, 176, 182, 191, 194, 196, 200, 210, 212, 215, 217, 218, 219, 222, 225, 228, 229, 231, 238, 264, 266, 267, 269, 272, 274, 278, 292, 293, 295, 299, 306, 310, 316, 318, 320, 323, 325, 333, 336, 340, 346, 351, 354, 360, 373, 384, 388, 393, 396, 402, 422, 424, 430, 448, 450, 454, 472, 476, 482, 493, 494, 497, 498, 500]

Valeur des quotients
qui deviennent vite très grands.

1, 3, 125970, 1278362451795, 305565807424800745258151050335, 2099072522743338791053378243660769678400212601239922213271230, 330455532167461882998265688366895823334392289157931734871641555 …

 

 

 

Somme de premiers et divisibilité

 

 

Somme de nombres premiers – Divisibilité par 2 ?

 

La somme de deux nombres premiers est divisible par 2, sauf si l'un des premiers est le nombre 2.

 

 

La somme de trois nombres premiers est impaire, sauf si l'un des premiers est le nombre 2; elle est alors paire et divisible par 2.

 

D'une manière générale

La somme de k nombres premiers est divisible par 2 si:

*       k est pair, ou

*       k' = (k – la quantité de "2") est pair.

 

Somme de deux nombres premiers

3 + 5 = 8 = 2 x 4  divisible par 2

2 + 3 = 5         non divisible car présence du 2

 

Propriété qui résulte du fait que tous les nombres premiers sont impairs, sauf 2; et que la somme de deux impairs est paire.

 

Somme de trois nombres premiers

3 + 5 + 7 = 15

2 + 3 + 5 = 10 = 2 x 5

 

En présence d'un 2, les deux autres sont impairs et ils produisent une somme paire; la somme totale reste paire en y ajoutant le 2.

Voir Table de sommes de premiers

 

 

 

Somme de nombres premiers – Divisibilité par pi ?

 

 

Somme de deux premiers

 

La somme de deux nombres premiers n'est pas divisible par l'un des premiers de la somme.

 

 

 

 

Exemples

 

 

Si l'un des termes de la somme est divisible par l'un des premiers, l'autre ne l'est pas. En effet, les nombres premiers sont premiers entre eux et la division de l'un par l'autre donne une fraction irréductible.

 

 

Somme de deux produits de premiers

 

La somme de deux produits de nombres premiers distincts n'est pas divisible par l'un des premiers de la somme.

 

 

 

Pour la même raison, chaque terme de la somme de deux premiers peut être multiplié par des premiers distincts sans que la nouvelle somme soit divisible par l'un de premiers. Un des termes produit toujours une fraction non réductible car les nombres impliqués sont premiers entre eux.

 

 

Somme de trois premiers ou plus

 

La somme de k nombres premiers est souvent divisible par l'un des premiers de la somme.

 

Comme le montre le tableau des sommes cumulées, la somme de k premiers est souvent divisible par l'un d'entre eux.

 

 

 

 

 

 

 

 

Exploration

 

Somme de premiers = premier ?

 

Taux de formation d'un nombre premier avec la somme de deux premiers:

Pour toutes les sommes des dix plus petits premiers entre eux, soit de 2 à 29, il y a seulement 10 sommes qui sont premières, soit un taux de 10 %.

Le taux de formation de sommes premières passe à 28,9 % avec trois nombres premiers.

 

Bilan: une somme de nombres premiers peut être première sans que ce soit la majorité des cas.

 

 

 

La somme de deux nombres premiers est rarement un nombre premier. Seulement 348 sommes premières sur un million de sommes (0,35 pour 1000) pour les mille premiers nombres premiers (soit jusqu'à p1 = 7 919 et p2 = 7 919).

 

 

 

Somme de produits de premiers = premier ?

On cherche à savoir si une combinaison de nombres premiers est riche de nombres premiers.

On part du constat que la somme de deux produits de premiers n'est pas divisible par l'un d'eux; sans doute propice à la production de nouveaux nombres premiers. 

Exemples

2 x 3 + 5 = 11  premier

2 x 3 + 7 = 13  premier

3 x 5 + 7 = 22 = 2 x 11

Quelle est la proportion de nombres premiers ainsi engendrés ?

 

Pour p1.p2 + p3

Exemple avec les premiers  < 10:

avec toutes les possibilités de sommes distinctes (ST = 12), il y a SP = 9 sommes premières, soit un taux de 75%.

 

 

Somme de produits

Plage => SP / ST, taux

Exemples de telles sommes composées

p1, p2, p3, S, F = facteurs

p1.p2 + p3

 

p < 10 => 9 / 12, 75 %

 

p < 20 => 35 / 168, 20,8 %

 

p < 50 => 102 / 1 365, 7,5 %

 

p < 100 => 247 / 6 900, 3,6 %

2, 3, 5, 11, F = (11)

2, 3, 7, 13, F = (13)

2, 5, 3, 13, F = (13)

2, 5, 7, 17, F = (17)

2, 7, 3, 17, F = (17)

2, 7, 5, 19, F = (19)

3, 5, 2, 17, F = (17)

3, 5, 7, 22, F = (2)(11)

3, 7, 2, 23, F = (23)

3, 7, 5, 26, F = (2)(13)

5, 7, 2, 37, F = (37)

5, 7, 3, 38, F = (2)(19)

p1.p2.p3 + p4

 

p < 10 => 4 / 4, 100%

 

p < 20 => 69 / 280, 24,6 %

 

p < 50 => 423 / 5 460, 7,7 %

 

p < 100 => 1 733 / 50 600, 3,42%

 

2, 3, 5, 7, 37, F = (37)

2, 3, 7, 5, 47, F = (47)

2, 5, 7, 3, 73, F = (73)

3, 5, 7, 2, 107, F = (107)

3, 5, 7, 2, 107, F = (107)

3, 5, 7, 11, 116, F = (2)^2 (29)

3, 5, 7, 13, 118, F = (2)(59)

3, 5, 7, 17, 122, F = (2)(61)

3, 5, 7, 19, 124, F = (2)^2(31)

3, 5, 11, 2, 167, F = (167)

3, 5, 11, 7, 172, F = (2)^2(43)

3, 5, 11, 13, 178, F = (2)(89)

3, 5, 11, 17, 182, F = (2)(7)(13)

3, 5, 11, 19, 184, F = (2)^3(23)

3, 5, 13, 2, 197, F = (197)

p1.p2 + p3.p4

 

p < 10 = 3 / 3, 100%

 

p < 20 => 54 / 210,  25,7%

 

p < 50 => 366 / 4 095, 8,9 %

 

p < 100 => 1 512 / 37 950, 3,98%

2, 3, 5, 7, 41, F = (41)

2, 5, 3, 7, 31, F = (31)

2, 7, 3, 5, 29, F = (29)

3, 5, 7, 11, 92, F = (2)^2(23)

3, 5, 7, 13, 106, F = (2)(53)

3, 5, 7, 17, 134, F = (2)(67)

3, 5, 7, 19, 148, F = (2)^2(37)

3, 5, 11, 13, 158, F = (2)(79)

3, 5, 11, 17, 202, F = (2)(101)

3, 5, 11, 19, 224, F = (2)^5(7)

3, 5, 13, 17, 236, F = (2)^2(59)

3, 5, 13, 19, 262, F = (2)(131)

3, 5, 17, 19, 338, F = (2)(13)^2

 

Bilan

 

Le tableau présente les statistiques de sommes premières selon que les nombres dans l'opération sont quelconques (a,b,c,d) ou premiers (pi).

*       La colonne P donne la quantité de premiers dans la plage. La plage étant celle des nombres entiers de 1 à 10, 20, 50 ou 100.

*       Les deux colonnes suivantes comparent a+b et p1+p2 . Il y a 40% de premiers avec sommes quelconques et 33,3 avec somme de premiers.

 

 

La présence de nombres premiers dans ces sommes de produits n'est pas plus propice à engendrer des sommes premières. C'est plutôt le contraire lorsque la plage grandit.

 

 

Merci à Louis R. pour toutes ses suggestions

 

 

Devinette – Solution

Question

La somme de deux nombres premiers p et q est impaire.

Que dire de la divisibilité du produit p.q ?

Réponse

Tous les nombres premiers sont impairs (sinon, ils seraient divisibles par 2), sauf justement 2.

Une somme de deux premiers est impaire seulement dans le cas d'un premier et du nombre 2 (disons: p = 2). Alors p.q = 2q qui est divisible par 2.

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*    Nombre 4 888

Sites

*      Prime Sums – Wolfram MathWorld

*      La page des nombres premiers
de Chris Caldwell – La référence du domaine

*      OEIS A007504 – Sum of first n primes

*      OEIS A051838 – Numbers n such that sum of first n primes divides product of first n primes.

*      OEIS A045345 - Numbers n such that n divides sum of first n primes

*    On the asymptotic expansion of the sum of the first n primes – Nilotpal Kanti Sinha

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