NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

 

>>> Déjouer les pièges: irrationnel ou non?

 

 

 

 

NOMBRES IRRATIONNELS

Comment les reconnaître?

 

Exemples de nombres et leur statut: rationnels ou irrationnels? Existe-t-il des pièges?..

 

SONT IRRATIONNELS tous les nombres qui ne peuvent pas être exprimés par une fraction de nombres entiers ("non-ration"). Notamment:

*    Tous les nombres ayant une infinité de décimales non-répétitives.

*    Toutes les racines de nombres non-puissances pures >>>

*    Tous les logarithmes de nombre rationnels positifs supérieurs à 1.

 

 

 

 

 Rationnel ou irrationnels ? Pièges

 

Expression

Nature

Commentaires

5

rationnel

Nombre entier.

rationnel

Fraction de nombres entiers.

0,625

rationnel

Équivalent à la fraction à 10 / 16. Nombre décimal avec une quantité de chiffre limitée

3,1415926…

irrationnel

Nombre décimal avec une quantité de chiffre illimitée.

3,1426

?

Si c'est l'arrondi de Pi, il est irrationnel; mais ce nombre cache la constante irrationnelle Pi.

1,333…

rationnel

Équivalent à la fraction à 4 / 3 car le 3 se perpétue sans fin. Sinon d'autres chiffres significatifs seraient indiqués.

0,010…

?

Peut-être la fraction 1/99 = 0, 0101010…, mais ce n'est pas indiqué.

rationnel

Le groupe de chiffres surlignés se répète indéfiniment. Ce nombre est équivalent à la fraction 1/99.

rationnel

Ce nombre ressemble à Pi qui est irrationnel. Mais, c'est la fraction 22/7 qui s'approche de la valeur de Pi. Le groupe de six chiffres se répètent sans fin.

rationnel

Si x = 0,999… alors 10x = 9,999…

et 10x – x = 9x = 9 et x = 1 >>>

irrationnel

Toutes les racines de nombres non-puissance sont irrationnelles

rationnel

Ce produit vaut 7.

irrationnel

Idem, même pour les puissances supérieures à 2.

irrationnel

Même en ajoutant ou en multipliant, le caractère irrationnel domine.

irrationnel

Certes une fraction, mais avec une racine.

rationnel

Car 8 = 23 = 2 x 22 et sa racine carrée vaut: . Multipliée par racine de 2 donne 2 x 2 = 4.

irrationnel

Car 8 =  et la somme devient

rationnel

Car 8 = . La fraction se simplifie pour devenir égale à 2.

irrationnel

rationnel

Ce produit, en (a-b)(a+b) = a²-b², est égal à 2² – 2  = 2.

irrationnel

Produit:

irrationnel

=  1,632526919 …

rationnel

Voir irrationnels produisant des rationnels.

rationnel

Simplement car ce nombre vaut 0.

?

Division par zéro impossible. Le nombre n'existe pas. Il n'est certainement pas rationnel. Il n'est pas irrationnel non plus. Statut indéfini car expression sans signification.

 

 

 

 

 

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