NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 30/09/2017

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Partitions

 

Débutants

Addition

Variations sur les carrés

 

Glossaire

Addition

 

 

INDEX

PARTITION

 

Carrés

Chiffres répétés

Repdigits

Produits

66 x 67 …

66 x 99 …

Factorisation

Sommes

Somme double

 

Différences

Propriétés

Écart 1, 2, …

Trouver la dif. des carrés

Table 1 à 100

Repdigits

Table des Repdigits

Curiosités

Tableau synthèse

a² – b² = c² – d²

 

Sommaire de cette page

>>> Sommes de deux carrés jusqu'à 200

>>> La magie s'explique

>>> Histoire de doubles

>>> Cousins par la somme des carrés

>>> Famille infinie de doubles

 

 

 


 

 

Somme de deux CARRÉS

 

 

Page découverte et travaux pratiques.

 

Un nombre N somme de 2 carrés fait  partie d'une famille infinie.

Tous les multiples sont aussi somme de 2 carrés.

      13   =   2² + 3²

2 x 13   =   5² + 1²

4 x 13   =   6² + 4²

Quelles sont leurs relations ?

 

 

 

 

SOMMES de deux carrés jusqu'à 200

 

*           On forme le tableau des nombres somme de deux carrés: N = a² + b²

*         a de 1 à 10 en abscisse.

*         b de 1 à 10 en ordonnée.

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

200

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

162

181

8

 

 

 

 

 

 

 

 

128

145

164

7

 

 

 

 

 

 

 

98

113

130

149

6

 

 

 

 

 

 

72

85

100

117

136

5

 

 

 

 

 

50

61

74

89

106

125

4

 

 

 

 

32

41

52

65

80

97

116

3

 

 

 

18

25

34

45

58

73

90

109

2

 

 

8

13

20

29

40

53

68

85

104

1

 

2

5

10

17

26

37

50

65

82

101

0

0

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

b / a

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

 

*           Ils  sont tous là, jusqu'à 10² + 10² = 200.

Sur fond jaune, tous ceux avec 5².

En vert-gras, on retrouve deux fois les nombres 25, 50, 100 et 85.

 

*           Il y a 1 + 2 + 3 =+ … + 11 = 11x12/2 = 66 sommes de deux carrés.
Et 66 – 4 = 62  sommes différences; soit 62 / 200 = 31%.

 

*           On constate que les nombres somme de deux carrés ne sont pas très nombreux. Pour couvrir tous les nombres, il faut sommer 4 carrés.

 

 

Observations sur les doubles

*           Partons de 1 et cherchons les doubles successifs: 2, 4, 8 …

*           Observons les valeurs de a et b

et de leur somme s = a² + b² et différence e = a² - b² .

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

200

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

162

181

8

 

 

 

 

 

 

 

 

128

145

164

7

 

 

 

 

 

 

 

98

113

130

149

6

 

 

 

 

 

 

72

85

100

117

136

5

 

 

 

 

 

50

61

74

89

106

125

4

 

 

 

 

32

41

52

65

80

97

116

3

 

 

 

18

25

34

45

58

73

90

109

2

 

 

8

13

20

29

40

53

68

85

104

1

 

2

5

10

17

26

37

50

65

82

101

0

0

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

a / b

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

 

N

a

b

s

e

1

1

0

1

1

2

1

1

2

0

4

2

0

2

2

8

2

2

4

0

16

4

0

4

4

32

4

4

8

0

64

8

0

8

8

128

8

8

16

0

 

Conclusion

 

*           Pour doubler la somme de deux carrés,

on calcule une nouvelle somme de carrés

en prenant la somme et la différence de a et b.

 

a

b

  N = a² + b²

a' = s

b' = e

2N = a'² + b'²

2N = s² + e²

 

En pratique

4

3

  N =   4² + 3²

= 25

a' = s = 7

b' = e = 1

2N =   7² + 1²

= 50

a" = 8

b" = 6

4N =   8² + 6²

= 100

a"' = 14

b"' = 2

8N = 14² + 2²

= 200

 

 

 

 

Essayons encore

*           Partons de 5 et cherchons les doubles successifs: 10, 20 …

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

200

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

162

181

8

 

 

 

 

 

 

 

 

128

145

164

7

 

 

 

 

 

 

 

98

113

130

149

6

 

 

 

 

 

 

72

85

100

117

136

5

 

 

 

 

 

50

61

74

89

106

125

4

 

 

 

 

32

41

52

65

80

97

116

3

 

 

 

18

25

34

45

58

73

90

109

2

 

 

8

13

20

29

40

53

68

85

104

1

 

2

5

10

17

26

37

50

65

82

101

0

0

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

a / b

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

 

N

a

b

s

e

5

2

1

3

1

10

3

1

4

2

20

4

2

6

2

40

6

2

8

4

80

8

4

12

4

 

Conclusion

*           On vérifie bien la même propriété.

 

 

 

LA MAGIE S'EXPLIQUE

 

*           La magie s'explique même très facilement pour un collégien.
Encore un coup des identités remarquables.

 

 

N

= a² + b²

2N

= 2a² + 2b²

 

= a² + 2ab + b²

+ a² - 2ab + b²

 

= (a+b)² + (a-b)²

2N

= s² + e²

 

Théorème

N

= a² + b²

2N

= s² + e²

avec

s = a + b

e = a - b

 

*           Dés que l'on tient un nombre (N) somme de deux carrés, on en tient une infinité (2k.N) et nous avons aussi la manière de les construire: l'un est la somme (s) et l'autre est la différence (e).

 

 

Exemple: famille 4² + 1² = 17

 

a

b

a² + b²

4

somme 5

8

10

16

20

32

40

64

80

128

160

256

320

512

640

1024

1280

2048

2560

1

écart 3

2

6

4

12

8

24

16

48

32

96

64

192

128

384

256

768

512

1536

16

25

64

100

256

400

1024

1600

4096

6400

16384

25600

65536

102400

262144

409600

1048576

1638400

4194304

6553600

1

9

4

36

16

144

64

576

256

2304

1024

9216

4096

36864

16384

147456

65536

589824

262144

2359296

17

34

68

136

272

544

1088

2176

4352

8704

17408

34816

69632

139264

278528

557056

1114112

2228224

4456448

8912896

 

 

HISTOIRE DE DOUBLES

 

*           Observons les valeurs successives de a et b.
Elles sont doubles les unes des autres, une fois sur deux.

 

Exemple: famille 10² + 1² = 101

 

a

b

a² + b²

10

1

100

1

101

11

9

121

81

202

 

 

 

 

 

20

2

400

4

404

22

18

484

324

808

40

4

1600

16

1616

44

36

1936

1296

3232

80

8

6400

64

6464

88

72

7744

5184

12928

 

 

 

 

 

2k.a

2k.b

 

 

4k² (a² + b²)

2k.s

2k.e

 

 

4k² (s² + e²)

 

Explications

 

a

 

 

= a

 

b

 

= b

s1 = a + b

 

 

= s

 

e1 = a - b

 

= e

s2 = s1 + e1

 

= a + b + a - b

= 2a

 

e2 = s1 - e1

= a + b - (a - b)

= 2b

s3 = s2 + e2

 

= 2a + 2b

= 2s

 

e3 = s2 - e2

= 2a - 2b

= 2e

 

 

 

 

COUSINS PAR LA SOMME DES CARRÉS

 

*           Nous avons eu la surprise de détecter une famille infinie. Les spécimens trouvés semblent des frères-doubles une fois sur deux. On peut expliquer une fois encore.

 

Nombres

Somme de leur carrés

a

b

 

 

=     a² + b²

2a

2b

4a²

+ 4 b²

= 4 (a² + b²)

 

*           Si on double les nombres de départ, on quadruple la somme de leur carré

Bon on retrouve notre résultat: 101 , 404 , 1616

Donc avec une somme de deux carrés, on engendre une famille infinie de quadruples.

*           En fait, le procédé permet de trouver une autre famille: celle ayant pour départ s = a + b et e = a – b.

 

 

Nombres

Somme de leur carrés

a

b

 

N

= a² + b²

e

s

 

2N

= s² +e²

2e

2s

 

4 (2N)

= 4 (s² + e²)

 

*           C'est également une  famille infinie de quadruples qui s'intercale dans la précédente pour former, ensemble, une  famille infinie de double.

 

 

 

 

 

FAMILLE INFINIE DE DOUBLES

 

Illustration des conclusions

 

somcar

 

La famille infinie de doubles
formée de deux familles de quadruples
(N, 4N, 16N … et 2N, 8N, 32N …) intercalées,
engendrées par a et b et,
leur somme s et leur différence e.

 

 

 


 

Suite

*   Différences de carrés

*    S'y retrouver

Voir

*    AdditionGlossaire

*    Addition des carrés

*    Addition des entiers

*    Addition des puissances

*    Carrés magiques

*    Conjecture de Goldbach

*    Identités remarquables

*    Impairs

*    Nombres consécutifs

*    Palindromes

*    Repdigit

*    Répétition de motifs

*    TABLESIndex

DicoNombre

*    Nombre      23

*    Nombre 1 000

*    Nombre 1 331