NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Glossaire

Addition

 

 

INDEX

 

PARTITION

 

CARRÉS

 

Carrés

Chiffres répétés

Repdigits

Produits

66 x 67 …

66 x 99 …

Factorisation

Sommes

Somme double

 

Différences

Propriétés

Écart 1, 2, …

Trouver la dif. des carrés

Table 1 à 100

Repdigits

Table des Repdigits

Curiosités

Tableau synthèse

 

 

Sommaire de cette page

>>> Table et observations

>>> Premiers ou composés

>>> Propriétés de la pandiagonale 1

>>> Propriétés des pandiagonales suivantes

>>> Méthode de calcul

>>> Progression sur une colonne

>>> Progression sur une ligne

>>> Progression en ligne et colonne

>>> Progression avec distance identique

>>> Bilan

 

 

 

 

 

ÉCART ENTRE CARRÉS,

observations et formulations

 

N = n² – m²

Toutes les propriétés résumées en un seul tableau.

 

Voir Tout nombre est différence de deux carrés

 

 

 

 

Table et observations

 

*      Créons le tableau donnant toutes les possibilités de calcul des écarts entre les carrés de deux nombres m (en abscisse – ligne) et n (en ordonnée – colonne), soit N = m² – n².

 

*      Les cases de la diagonale indiquant la différence entre carrés du même nombre est toujours égale à 0.

*      Le tableau est symétrique: la partie basse-gauche donne les mêmes valeurs, en négatifs, que la partie haute-droite.

*      Les pandiagonales sont les lignes parallèles à la diagonale principale; nous nous intéressons à la progression des nombres sur ces pandiagonales.

 

 

 

 

 

Propriétés de la pandiagonale 1

 

*      Sur la pandiagonale proche de la diagonale, les nombres progressent de deux en deux; nous y trouvons la suite des nombres impairs.

*      Les deux nombres portés au carré sont consécutifs et leur somme donne précisément l'écart entre leur carré.

 

Tout nombre impair est la différence des carrés de deux nombres consécutifs:

 

E = m² – (m – 1)² = m + (m – 1)

 

102 – 92 = 10 + 9 = 19

10002 – 9992 = 1000 + 999 = 1999

=> 999² = 1 000 000 – 1 999 = 998 001

 

Suite >>>

 

 

PREMIERS ou COMPOSÉS

 

*      Sur la première ligne pandiagonale nous trouvons tous les impairs et, par conséquent, tous les nombres premiers (hormis 2, le seul nombre premier pair).

 

*      Tous les autres nombres du tableau sont composés.
Ils sont tous égaux au produit de leur différence k et de leur somme m +  (m – k) = 2m – k.

 

 

 

 

En effet, soit les deux nombres:

m et m – k:
E = m² - (m – k

   = m² – m² + 2mk – k²

   = k (2m – k)

 

Si k = 1 (nombres consécutifs; première pandiagonale):

E = 2m – 1, nombre impair.

 

Si k > 1 (autres pandiagonales)

E = k (2m – k)

Divisible par k qui n'est pas 1, donc nombre composé.

 

 

Propriétés des pandiagonales suivantes

*      Soit deux nombres m et n = m – k. et leur carré A et B

*      L'écart juste avant sur la pandiagonale correspond aux deux nombres précédents: m – 1  et m – k – 1 dont les carrés sont C et D

*      La progression E sur la pandiagonale se calcule en faisant la différence de la différence des carrés (A – B) et C – D).

*      Extraordinaire! C'est le nombre en tête de la pandiagonale (le numéro de la pandiagonale k).

 

A = m²

B = (m – k)² = m² - 2mk + k²

C = (m – 1)² = m² - 2m + 1

D = (m – k – 1)²

   = m² - 2mk – 2m + k² + 2k + 1

 

E = (A – B) – (C – D) = 2k

 

L'écart entre deux nombres d'une pandiagonale est le double de la distance (k) entre les deux nombres.

 

 

 

 

Méthode de calcul

 

*      Compte tenu de ce que nous savons, nous pouvons donnez le schéma de calcul pour progresser le long d'un pandiagonale.

*      Par exemple, nous savons que 7² – 4² = 33; comment calculer 8² – 5² avec notre méthode (sans calculer les carrés).

*      Voici la méthode de calcul en schéma:

 

 

 

 

 

Progression sur une colonne

 

*      Exemple:

9² – 2² = 77

9² – 5² = 56

Écart   = 21

 

*      Et selon la formule ci-contre

m = 9, k = 7 et h = 4
E = (4 – 7)(7 + 4 – 2x9)

   =      3 x 7 = 21

 

 

 

A = m²

B = (m – k)² = m² - 2mk + k²

C = m²

D = (m – h)² = m² - 2mh + h²

 

E = (A – B) – (C – D)

   = h² – k² + 2m(k – h)

   = (h – k)(h + k) – 2m(h – k)

   = (h – k)(h + k – 2m)

 

 

Progression sur une ligne

 

*      Exemple:

9² – 3² = 72

6² – 3² = 27

Écart   = 45

 

*      Et selon la formule ci-contre

m = 9, k = 6 et j = 3
E = 3 (18 – 3) = 3 x 15 = 45

  

 

 

 

A = m²

B = (m – k)² = m² - 2mk + k²

C = (m – j)² = m² - 2mj + j²

D = (m – k)² = m² - 2mk + k²

 

E = (A – B) – (C – D)

   = j (2m –j)

 

 

 

 

 

 

Progression ligne et colonne

 

*      Exemple:

12² – 5² = 119

  9² – 3² =   72

Écart     =   47

 

*      Et selon la formule ci-contre

m = 12, k = 7,  j = 3 et h = 6
E = (6–7)(6+7–2x12) + 2x3x6

       =   (-1) (-11) + 36

       = 47

  

 

 

 

A = m²

B = (m – k)² = m² - 2mk + k²

C = (m – j)² = m² - 2mj + j²

D = (m – j - h)²

   = m² + h² + j²- 2mj – 2mh+ 2jh

 

E = (A – B) – (C – D)

   = h² – k² + 2m (k – h) + 2jh

   = (h – k)(h + k – 2m)   + 2jh

   = Ecolonne + 2jh

 

 

Même écart

 

*      Exemple:

12² – 6² = 108

  9² – 3² =   72

Écart     =   36

 

*      Et selon la formule ci-contre

m = 12, k = 6,  j = 3 et h = 6
E = 2 x 3x 6 = 36

  

 

 

Comme précédemment, mais avec h = k:

E = (A – B) – (C – D)

   = (h – k)(h + k – 2m)   + 2jh

   = 0 + 2jh

   = 2jh

 

 Notez que cet écart est indépendant de m.

*      Voici l'illustration du calcul:

 

 

*      Ce résultat n'est pas surprenant: c'est celui que nous avions trouvé en tête de cette page à propos des pandiagonales.
 

 

Bilan

 

ÉCART

Nombres quelconques: l'écart entre les carrés de deux nombres est égal au produit de leur somme et de leur différence.

 

Deux nombres consécutifs: l'écart entre leurs carrés est un nombre impair.

E = m² – (m – 1)² = m + (m – 1) = 2m – 1

 

PROGRESSION

Nombres sur une pandiagonale: (m² – k²) et (n² – k²): l'écart entre ces deux valeurs est indépendante de m et de n; elle est égale au double du produit de la différence j = m – n par le numéro de la pandiagonale k (ou h).

E = (m – k  (n – k)² = 2 (m – n) k

 

Nombres quelconques:

E = (m²– (m-k)²) – (n² – (n-h)²)

                           = (h – k)(h + k – 2m) + 2(m – n) h

                           = 2(km – hn) + h²- k²

Exemple

 

Voir Résumé des propriétés des carrés

 

 

 

Suite

*    Autres pages avec les carrés

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