NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Partitions

 

Débutants

Addition

Variations sur les carrés

 

Glossaire

Addition

 

 

INDEX

PARTITION

 

Carrés

Chiffres répétés

Repdigits

Produits

66 x 67 …

66 x 99 …

Factorisation

Sommes

Somme double

 

Différences

Propriétés

Écart 1, 2, …

Trouver la dif. des carrés

Table 1 à 100

Repdigits

Table des Repdigits

Curiosités

Tableau synthèse

a² – b² = c² – d²

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres consécutifs

>>> Nombres impairs

>>> Nombres pairs

>>> Nombres avec écart de 2

>>> Nombres avec écart de 3

>>> Nombres avec écart de e

 

 

 

 

 

 

DIFFÉRENCE des carrés

de deux nombres voisins

 

Cas où la différence des nombres est 1 ou 2 ou un écart donné

Comment trouver N avec n ou n avec N ?

 

 

 

NOMBRES CONSÉCUTIFS

 

Soit deux nombres consécutifs.

La différence de leur carré est un nombre impair.

 

Démonstration

N

= n² – (n – 1)²

= n² – n² + 2n – 1

= 2n – 1

et, n

= (N + 1) / 2

 

 

NOMBRES IMPAIRS

 

Nombre impair

I

= 2n – 1

n

= (I + 1) / 2

= I/2 + 0,5

 

Un nombre impair

peut toujours s'exprimer sous la forme

de la différence des carrés

de deux nombres consécutifs:

I   =

 

– (n – 1)²

 (I/2 + 0,5)²

– (I/2 – 0,5)²

 

 

Exemples

I

I / 2

-

(n-1)²

3

1,5

-

5

2,5

-

7

3,5

-

111

55,5

56²

-

55²

 

 

NOMBRES PAIRS

 

Un nombre pair

 ne peut jamais s'exprimer sous la forme

de la différence des carrés

de deux nombres consécutifs.

 

 

 

 

NOMBRES AVEC ÉCART DE 2

 

Deux nombres:

 n et m = n-2

leur somme

s = 2n - 2

Leur différence

e = 2

La différence de leur carré:

 

N = n² - m²

= (n + m) (n - m)

= s . e

 

= (2n - 2) 2

N = n² - m²

= 4 (n - 1)

n

= N/4 + 1

 

Conséquence

Un nombre divisible par 4

est la différence des carrés

de deux nombres écartés de 2

N =

 

- (n-2)²

4

(n - 1)

 

Exemples

n² - m²

=

 4

x

n-1

=

N

3² - 1²

=

4

x

2

=

8

4² - 2²

=

4

x

3

=

12

5² - 3²

=

4

x

4

=

16

10² - 8²

=

4

x

9

=

36

11² - 9²

=

4

x

10

=

40

112² - 110²

=

4

x

111

=

444

 

Procédé connaissant N

Un nombre

N =

4000

divisible par 4

N/4 =

1000

Premier nombre

n = N/4 + 1 =

1001

Deuxième nombre

m = N/4 - 1 =

999

Différence de carrés

N = n² - m² =

4000 = 1001² - 999²

 

 

 

 

NOMBRES AVEC ÉCART DE 3

 

Deux nombres:

 n et m = n-3

leur somme

s = 2n - 3

Leur différence

e = 3

La différence de leur carré:

 

N = n² - m²

= (n + m) (n - m)

= s . e

 

= (2n - 3) 3

N = n² - m²

= 3 (2n - 3)

n

= ( N/3 + 3) / 2

 

Conséquence

Un nombre divisible par 3

peut être la différence des carrés

de deux nombres écartés de 3:

N =

 

- (n-3)²

3

(2n - 3)

 

Exemples

n² - m²

=

 3

x

2n-3

=

N

4² - 1²

=

3

x

5

=

15

5² - 2²

=

3

x

7

=

21

6² - 3²

=

3

x

9

=

27

11² - 8²

=

3

x

19

=

57

12² - 9²

=

3

x

21

=

63

113² - 110²

=

3

x

223

=

669

 

Procédé connaissant N

Un nombre

N =

3003

divisible par 3

3 q =

3 x 1001

Premier nombre

Ce nombre doit être un entier

n = (q + 3) / 2 =

(1001+3) / 2 =

1004 / 2 = 502

Deuxième nombre

m = q - 3 =

499

Différence de carrés

N = n² - m² =

3003 = 502² - 499²

 

Autre exemple

Un nombre

N =

3000

divisible par 3

3 q =

3 x 1000

Premier nombre

Ce nombre doit être un entier

n = (q + 3) / 2 =

(1000+3) / 2 =

1003 / 2 = 501,5

3000 n'est pas différence des carrés de 2 nombres écartés de 3

 

 

 

 

NOMBRES AVEC ÉCART DE e ("e" comme écart)

 

 

Deux nombres:

 n et m = n – e

leur somme

s = 2n – e

Leur différence

e = e

La différence de leur carré:

 

N = n²

= (n + m) (n – m)

= s . e

 

= (2n - e) e

N = n² – m²

= e (2n – e)

n

= N/2e + e/2

 

Conséquence

Un nombre divisible par e

peut être la différence des carrés

de deux nombres écartés de e

N =

 

– (n – e)²

e

(2n – e)

 

Exemples

n² - m²

=

 e

x

2n-e

=

N

6² - 1²

=

5

x

7

=

35

12² - 2²

=

10

x

14

=

140

1000² - 100²

=

1100

x

900

=

990000

999² - 99²

=

900

x

1098

=

988200

 

 

 

 

 

Suite

*    Soit un nombre N: trouvez comment l'exprimer sous la forme de différence de 2 carrés

*    Table des différences de carrés de 1 à 100

*    Écart entre carrés de nombres consécutifs

*    S'y retrouver

Voir

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