NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Triangle équilatéral et un point interne

>>> Construction pour résolution

 

 

 

  

 

 

TRIANGLE équilatéral

Avec point interne à 3, 4 et 5 des sommets

 

Plaisant problème de géométrie d'origine indienne qui montre comment calculer l'aire du triangle équilatéral en connaissant les distances d'un point à ses sommets. Il est vrai qu'il s'agit d'un cas particulier.

 

 

 

Triangle équilatéral et un point interne

 

Un triangle équilatéral ABC et un point P, situé à 3, 4 et 5 unités des sommets.

 

Quelle est la longueur des côtés?

 

 

Un problème de géométrie qui semble infaisable, et pourtant …

L'idée consiste à raisonner en élargissant le champ, en faisant une construction complémentaire.

 

Avec la présence du triplet de Pythagore (3, 4, 5), une idée vient immédiatement à l'esprit: comment obtenir un triangle rectangle en rapprochant ces trois mesures?

 

 

Construction conduisant à la résolution

Pour calculer la longueur du côté, nous allons d'abord calculer l'aire du triangle équilatéral.

 

L'astuce consiste à faire pivoter le triangle initial en jaune de 60° pour l'amener en position bleue.

 

Repérez les angles de 60° marqués en bas à gauche (vert).

 

Le triangle APQ est équilatéral: deux côtés égaux, donc isocèle et et un angle de 60°. Son aire est connue:

 

APD équilatéral, alors QP = 3

 

 

La figure est réalisée à l'échelle:

2 carreaux pour une unité de longueur.

Nous avons notre fameux triangle  (3, 4, 5) en CQP, rectangle en Q.

 

Aire du triangle rectangle: CQP

Par la rotation le triangle ABP est devenu ACQ.

(3) = (4 + 5) en termes d'aires, bien entendu.

Conséquence: un morceau de la surface à trouver est égale au quadrilatère APCQ.

(3 + 11 + 12) = (4 + 5 + 11 + 12)

Or nous connaissons cette aire: triangle équilatéral APQ et triangle rectangle CPQ.

En recommençant l'opération de rotation sur les deux autres côtés, on trouvera:

La somme couvre deux fois la surface à trouver.

Notez que 3² + 4² + 5² = 50.

Nous pouvons passer au calcul de la longueur du côté.

 

 

 

 

 

 

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