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TRIANGLE équilatéral

Avec point interne à 3, 4 et 5 des sommets

Plaisant problème de géométrie d'origine indienne qui montre comment calculer l'aire du triangle équilatéral en connaissant les distances d'un point à ses sommets. Il est vrai qu'il s'agit d'un cas particulier.

Triangle équilatéral et un point interne
Un triangle équilatéral ABC et un point P, situé à 3, 4 et 5 unités des sommets. Quelle est la longueur des côtés? Un problème de géométrie qui semble infaisable, et pourtant … L'idée consiste à raisonner en élargissant le champ, en faisant une construction complémentaire. Avec la présence du triplet de Pythagore (3, 4, 5), une idée vient immédiatement à l'esprit: comment obtenir un triangle rectangle en rapprochant ces trois mesures?

Construction conduisant à la résolution
Pour calculer la longueur du côté, nous allons d'abord calculer l'aire du triangle équilatéral.
L'astuce consiste à faire pivoter le triangle initial en jaune de 60° pour l'amener en position bleue. Repérez les angles de 60° marqués en bas à gauche (vert). Le triangle APQ est équilatéral: deux côtés égaux, donc isocèle et et un angle de 60°. Son aire est connue: APD équilatéral, alors QP = 3	La figure est réalisée à l'échelle: 2 carreaux pour une unité de longueur.
Nous avons notre fameux triangle (3, 4, 5) en CQP, rectangle en Q.	Aire du triangle rectangle: CQP
Par la rotation le triangle ABP est devenu ACQ.	(3) = (4 + 5) en termes d'aires, bien entendu.
Conséquence: un morceau de la surface à trouver est égale au quadrilatère APCQ.	(3 + 11 + 12) = (4 + 5 + 11 + 12)
Or nous connaissons cette aire: triangle équilatéral APQ et triangle rectangle CPQ.
En recommençant l'opération de rotation sur les deux autres côtés, on trouvera:
La somme couvre deux fois la surface à trouver. Notez que 3² + 4² + 5² = 50. C'est évidemment, le triplet de Pythagore qui est la clé de la solution.
Nous pouvons passer au calcul de la longueur du côté.

Championnat

Lors du Championnat International des Jeux Mathématiques et Logiques, Finale Internationale du 23 août 2003, un problème semblable (notamment le n° 15) a été posé: Déterminer l'aire d'une forêt en forme de triangle équilatéral, lorsqu'on se trouve à l'intérieur de cette forêt à des distances de 6,  8 et 10 km des sommets.

Merci à ir Jos Heynderickx pour cette référence

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