NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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   TRIANGLES

 

Débutants

Triangle

Propriétés – Curiosités

 

Glossaire

Triangle

 

INDEX

Types de triangles

 

Triangle

 

Polygones

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Droites et points

Pappus

Point et triangles

Angles (180°)

Quantité de triangles

Torricelli

Triangles et triangles

Triangulation

Quatre triangles

Heilbron

Carrés triangles

Représentation

Brocard

Cercles et triangles

Triangles dans les polygones

Régions et intersections

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Triangles et carrés

>>> Théorème et démonstration

>>> Triangulation

 

 

 

 

Triangulation des POLYGONES

 

Dans un polygone à n côtés, on dispose p points.

Le polygone contiendra 2p + n – 2 triangles.

 

Voir Noms des polygones / Principe de la triangulation

 

 

Approche

Étant donné un polygone à n côté et p points internes, le principe de la triangulation consiste à partager le polygone en autant de triangles que possible, sans croisement.

Sur la figure, avec un quadrilatère et quatre points internes, on peut composer dix triangles.

Comment établir une formule donnant la quantité de triangles (q) en fonction du nombre de sommets (n) et de la quantité de points internes (p).

 

 

 

Triangles et carrés

Dans le triangle, avec:

*    1 point: 3 triangles internes

*    2 points: 5

*    3 points: 7

*    4 points: 9
(+2 pour un nouveau point)

*   

*    p points: 2p + 1

Dans le quadrilatère, avec:

*    1 point : 4 triangles

*    2 points: 4 + 2 = 6

*    3 points: 6 + 2 = 8

*   

*    p points: 2p + 2

 

 

Théorème

 

Avec un polygone quleconque de n côté et p points internes, on peut former exactement:

q =  2p + (n – 2) triangles.

    

Propriété invoquée

La somme des angles d'un polygone est égale à 180° (n – 2). Celle du triangle est 180°.

Démonstration

Supposons que la formule doit juste. LA somme de tous les angles des triangles vaut

180 (2p + n – 2) = 360p + 180 (n-2)

Somme des angles autour des points internes

360 p

Somme des angles des triangles sans la contribution des angles internes.

360p + 180 (n-2) – 360p = 180 (n – 2)

Cette valeur est précisément celle des angles du quadrilatère

La formule est validée.

Voir Brève 607

 

 

Triangulation

Un moyen de compter les triangles consiste à les repérer par un numéro ou un point.

Si le compte ne correspond pas à la formule, revérifiez.  Méfiez-vous des alignements.

 

 

 

Suite

*     Principe de la triangulation

*      Régions et intersections dans les polygones

*       Compter les triangles dans une figure quelconque

*       Devinette avec deux triangles

*       Segments dans une grille

*       Droites passant par n point sur une grille

Voir

*         Carré dans le triangle, construction astucieuse

*         DénombrementIndex

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*         Heptagone et ses diagonales

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*         Nombres triangulaires

*         PolygonesIndex 

*         TriangleIndex

Sites

*         Triangulation d'un polygone – Wikipédia

*         Triangulation – Christian Nguyen – pdf 35 pages

*         Triangulation de polygones – Diagrammes de Voronoï et Triangulation de Delaunay – Achraf Othman – pdf 50 pages

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Particul/Triangul.htm