NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 06/05/2018

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique       Brèves de Maths     

     

Nombres PREMIERS

 

Débutants

Nombres

Premiers

Généralités

 

Glossaire

Nombres

Premiers

 

 

INDEX

 

Nombres premiers

 

Introduction

Barre magique

Propriétés

Infinité

Théorème des nombres premiers

Curiosités

Un

Somme de nombres premiers

Progression arithmétique

Nombres premiers équilibrés

 

Sommaire de cette page

>>> Types  de progression arithmétique (PA)

>>> Raison de la progression

>>> Exemples de progressions arithmétiques faibles

>>> Progressions arithmétiques fortes

>>> Historique et record

 

 

 

 

 

NOMBRES PREMIERS

en progression arithmétique

 

Quels sont les nombres premiers à égale distance les uns des autres. Quelle est la chaine la plus longue.

Parmi le premier million de nombres premiers, il est facile de trouver une suite de 6 nombres en progression arithmétique, et difficilement plus.

Objectif fou: comparaison d'une suite erratique de nombres (les premiers) et une suite bien régulière (progression arithmétique) !

 

Exemple: deux suites de nombres premiers en 7, espacés de 30.

En bleu tous les nombres premiers; en jaune la première suite et en rose la seconde.

 Voir Nombres premiers avec 7 pour unité / Nombres premiers équilibrés

 

 

Types  de progression arithmétique

Progression arithmétique (PA) de nombres premiers: dans tous les cas la différence entre deux nombres premiers voisins est constante, et en plus:

*    PA forte: tous les nombres premiers sont consécutifs.
    
Ex: 251, 257, 263, 269

*    PA faible: des nombres premiers intercalaires peuvent exister.
       Ex: 7, 37, 67, 97 avec 17 et 47 intercalaires.

Types de records des PA fortes:

*    La progression avec le plus grand nombre de termes

*    La progression de k termes avec les plus grands nombres possibles

 

 

Raison de la progression

La raison de la progression arithmétique est la distance entre chaque nombre.

 

3, 13, 23 sont trois nombres premiers espacés de 10.  La raison est égale à 10. La différence entre deux nombre voisins est égale à 10.

Quelles sont les valeurs possibles pour cette raison.

Les nombres premiers sont tous de la forme 6  1. La distance minimale est donc égale à 5 et la suivante est 7.

En partant de ces deux valeurs et en les additionnant  plusieurs fois, on trouve la liste indiquée.

Cependant, il faut exclure les nombres impairs, car la somme suivant sera paire et donc composée. En effet: tous les premiers (sauf 2) sont impairs et la somme (impair + impair) est paire.

 

Liste des raisons possibles pour la progression arithmétique entre les nombres premiers:

 

5, 7, 10, 12, 14,  20, 22, 24, puis tous les nombres pairs suivants.

 

Sont exclus, les nombres:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 16, 18 et 23.

 

Cas particuliers avec R = 2 ou 4

pour 3, 5, 7  et  3, 7, 11

 

Voir Énigmes de pesée

 

 

Exemples de progressions arithmétiques faibles

 

R indique la raison;

Dans la colonne suite, on montre les premier, deuxième et dernier nombres de la progression; et

K, indique la quantité de nombre de la progression.

 

R

Suite de premiers

K

R

Suite de premiers

K

  5

2, 7

2

36

31, 67, 103, 139

4

  7

/

0

 

241, 277, 313, 349

 

10

3, 13, 23

3

 

 

12

5, 17, 29, 41, 53

5

40

3, 43, 83

3

14

3, 17, 31

3

50

3, 53, 103

3

 

3, 23, 43

 

42

5, 47, …131

5

20

3, 23, 43

3

 

5, 47, …173

 

22

7, 29

2

 

 

 

19,41

 

60

11, 71, …311

6

 

 

 

53, 113, …353

 

24

59, 83, 107, 131

4

 

641, 701, …941

 

 

79, 103, 127, 151

 

 

5443, 5503, …5743

 

 

 

90

13, 103, …463

 

30

7, 37, …157

6

 

503, 593 …953

6

 

107, 137, …257

 

 

 

 

 

359, 389, …509

 

 

 

 

 

541, 571, …691

 

210

199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089

10

 

2221, 2251, …2371

 

 

 

 

 

6673, 6703, …6823

 

 

 

 

 

7457, 7487, …7607

 

 

 

 

 

 

Progressions arithmétiques fortes

 

Les progressions arithmétiques sont notées (k, r) avec k la quantité de termes et r la raison de la progression.

 

 

Plus petites PA fortes

(3, 2) => 3, 5, 7

(4, 6) => 251, 257, 263, 269

(5, 30) => 9 843 019, 9 843 049, 9 843 079, 9 843 109, 9 843 139

(5, 30) => 121 174 811, 121 174 841, 121 174 871, 121 174 901, 121 174 931, 121 174 961

Tous les premiers de ces progressions sont consécutifs.

 

 

   

Historique et record

 

Infinité de nombres premiers en progression arithmétique

Adrien-Marie Legendre (1752-1833) conjecture une infinité de nombres premiers pour les progressions arithmétiques dont la raison et le premier terme sont premiers entre eux. Parmi les termes de la progression certains sont composés.

 

Johann Dirichlet (1805-1859) démontre ce théorème en 1837.

 

Hardy et Littlewood conjecturent en 1923 qu'il existe une infinité de progressions arithmétiques longues de premiers (en fait, une conjecture plus large à propos des constellations de premiers).

 

Van der Corput prouve en 1939 qu'il existe une infinité de triplets premiers en progression arithmétique. En 981, Health-Brown montre qu'il existe une infinité de quadruplets avec éventuellement l'un d'eux comme semi-premier.

 

Ben Green et Terence Tao démontrent en 2004 qu'il existe des chaines en progression arithmétiques aussi longue que l'on veut.

 

Théorème de Green-Tao (2004)

 

Il existe des progressions arithmétiques de nombres premiers

arbitrairement longues.

Voir Terence Tao

 

La démonstration dit que l'on peut trouver une progression arithmétique de longueur k pour tout k, mais ne dit pas comment la construire.

 

 Exemple de très grande chaine en progression arithmétique

    X = 1,009 …  1092

  

    = 100 99697 24697 14247 63778 66555 87969 84032 95093 24689

              19004 18036  03417 75890 43417 03348 88215 90672 29719

 

     X + k. 210 : avec k = 0, 1, 2, ... , 9 sont tous premiers.

 

Pour 10 nombres successifs

Calculés en mars 1998, il a fallu 200 ordinateurs, 70 mathématiciens impliqués. Ils ont 93 chiffres et sont espacés de 210 en 210.

 

Record 2018

En 2010, Benoît Périchon découvre une suite de 26 premiers commençant par:
43142746595714191, 48425980631694091, …

C'est toujours le plus grand connu en 2018.

 

En 2018, on connait un nombre de 7 036 chiffres formant une progression de 7 termes (Auteur: Ken Davis).
(234 043 271 + 481 789 017·n) · 7 001# + 1
7 001# est la primorielle de 7 001, en facteur commun.
n = 0 pour le premier terme et n = 5 pour le dernier (soit six termes).

 

 

 

 

 

Voir

*    Nombres premiersIndex

*    Nombres premiers équilibrés

*    Nombres premiers avec 7 pour unité

*    Chaine de Cunningham

*    Conjecture de Gilbreath

*    FAQ sur les nombres premiers

Aussi

*    Liste de nombres premiers

 

*    Calcul mental

*    Curiosités de motifs et formes

*    Divisibilité

*    Géométrie

*    Magie avec les nombres

*    Nombres composés

*    Petit théorème de Fermat 

*    Premiers en tableaux, en spirales …

*    Représentation des nombres

*    Théorie des nombres

DicoNombre

*       Nombre 7

*       Nombre 9 843 019

*       Nombre 121 174 811

Sites

*      Prime in arithmetic progression – Wikipédia

*      Prime in arithmetic progression – Wolfram Mathworld

*      Progressions arithmétiques dans les nombres premiers d'après B. Green et T. Tao – Bernard Host – 2006 – Niveau expert

*      OEIS A204189Benoît Perichon's 26 primes in arithmetic progression

*      OEIS A006560 – Smallest starting prime for n consecutive primes in arithmetic progression

*      Prime in arithmetic progression – Wikipedia

*      Primes in Arithmetic Progression Records – Jens Kruse Anderse

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/Progarit.htm