NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Carrés magiques

 

Débutants

Carrés

magiques

Carré magique 3 x 3

 

Glossaire

Carrés

magiques

 

 

INDEX

 

Carrés magiques

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   Constructions

 

Magie

Jeux de grilles

Jeux et énigmes

Intro. carré 3 x 3

Carré 3 x 3

Date de naissance

Fibonacci

Propriétés

Premiers

 Maths du carré 3x3

Décalé

Maths et programmation

Alpha-magique

Taneja (Pythagore)

 

 

Sommaire de cette page

>>> Propriétés du carré normal d'ordre 3

>>> Forme générique pour ordre 3

>>> Autres formes génériques

>>> Programmation

 

 

 

 

Carré magique 3 x 3

dit d'ordre 3

  

Formules mathématiques et programmation.

 

 

PROPRIÉTÉS du carré normal d'ordre 3

 

*  Le carré comprend les nombres de 1 à 9 et la somme de tous ces nombres est: 9 x 10 / 2 = 45.

 

*  La somme magique est égale à: S = 45 / 3 = 15

 

*  C'est un carré magique associatif: 6 + 4 = 8 + 2 = 1 + 9 = 7 + 3 = 2 x 5

 

*  Le carré normal d'ordre 3 est unique, sauf ses variantes par symétrie.

 

*  La case centrale est nécessairement 5. Un simple calcul le montre:

 

 

*  La somme des deux extrémités diamétralement opposées est égale à 10 (somme magique 15 moins élément central 5), deux fois la valeur de la case centrale: A + I =  2E

*  Deux nombres opposés de la couronne sont à égale distance du centre: A – E = E – I  (formule précédente arrangée).

*  Chaque coin est le double des deux adjacents au sommet opposé:

2 x 6 = 9 + 3; 2 x 8 = 7 + 9; 2 x 2 = 1 + 4 et 2 x 4 = 7 + 1.

*  La somme des carrés de la première ligne égale celle de la dernière ligne et idem pour les colonnes extrêmes:

6² + 7² + 2² = 8² + 3² + 4² =  89

6² + 1² + 8² = 2² + 9² + 4² = 101

 

 

 

FORME GÉNÉRIQUE

              des carrés magiques d'ordre 3

 

Nous savons que l'élément central est fixé (5) et la somme de deux nombres opposés est toujours 10.

 

Formules simples

 

m – 1

m + 4

m – 3

m – 2

m

m + 2

m + 3

m – 4

m + 1

 

*    M est l'élément central et 3m est la somme magique

*    les éléments de la couronne sont symétriques par rapport au centre.

 

Formules générales dues à Édouard Lucas

 

a + b

a b c

a + c

a b + c

a

a + b c

a c

a + b + c

a b

Voir Démonstration

 

*    Pour toutes les valeurs de a, b et c, ce carré est magique.

Remarque: avec a, b et c quelconque, on n'est pas assuré d'avoir des nombres différents ou consécutifs.

 

*    La constante magique est 3a. Voyez la colonne centrale.

 

*    Notez que tous les termes du carré sont symétriques par rapport au centre.

*    les neuf nombres forment huit progressions arithmétiques (en jaune avec l'élément central en rouge):

Voir Exploitation de cette propriété (parallélogramme magique) /

Programmation des carrés alpha-magiques

 

 

 

Quelques exemples utilisant la forme générique

 

Le classique avec les nombres de 0 à 9

 

a

b

c

5

1

3

 

6

1

8

7

5

3

2

9

4

 

En voici trois autres

 

a

b

c

5

1

4

 

6

0

9

8

5

2

1

10

4

a

b

c

10

1

3

 

11

6

13

12

10

8

7

14

9

a

b

c

1000

1

500

 

1001

 499

1500

1499

1000

 501

 500

1501

 999

 

Voir Propriétés des carrés 3 x 3 / Construction du carré 9x9

 

 

 

Autres FORMES GÉNÉRIQUES

 

Carré normalisé

*    Élément central à 0.

*    Somme nulle.

 

b

b – c

c

b + c

0

b – c

c

b + c

b

 

*    Note: avec la forme normalisée, on obtient toujours une suite de nombres consécutifs.

 

 

Autre forme générique

*     Deux variables indépendantes h et i

 

 

10 – i

10 – h

– 5 + h + i

– 10 + h + 2i

5

20 – h – 2i

15 – h - i

h

i

 

 

Semi – magique

*    Somme égale sur lignes et colonnes seulement

*    Variables indépendantes e, f, h et i

 

 

 

15 + e + f + h + i

15 – e – h

15 – f – i

15 – e – f

e

f

15 – h - i

h

i

 

 

 

 

 

Programmation avec Maple

 

Nous nous proposons de construire les huit carrés magiques permutés d'ordre 3.

Il s'agit plutôt d'un exercice de programmation avec les tableaux de nombres (matrices). Méthode valable seulement pour les petits carrés magiques.

Voir Programmation pour les grands carrés

 

Exercice, car cette programmation permet de se familiariser avec la manipulation des matrices qui recèle quelques pièges.

 

Oups !

Pour un carré 3x3, il y a 9! = 362 880 permutations des neuf nombres à analyser.

Il y en aurait déjà 21 mille milliards (20 922 789 888 000) pour l'ordre 4
et 1025 pour l'ordre 5.

 

Commentaires

Réinitialisation (restart). Appel des logiciels de traitement des matrices (ArrayTools) et de combinatoire.

Formation d'une matrice (2x4) pour y loger nos huit carrés magiques.

La liste e des nombres de 1 à 9 est permutée en E.

 

Pour chaque permutation f, on forme la matrice A.

Puis on calcule la somme en colonnes avec AddlongDimension et le paramètre 1, puis la somme en lignes avec le paramètre 2.

Pour les diagonales, on additionne les éléments de même indice pour l'une et d'indices complémentaires pour l'autre.

SC est l'ensemble (set) des sommes sur les colonnes. Si les sommes sont identiques, l'ensemble ne comporte qu'un seul élément (nops = 1).

Si en plus, les sommes en diagonales valent 15, alors le carré est magique.

 

Les carrés magiques sont alors rangés dans un super tableau selon la valeur de leur rang (kt).

Voir le Explication du calcul de i et j

Voir ProgrammationIndex / Brève 481

 

 

 

 

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