NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 07/01/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Carré magique 3 x 3

dit d'ordre 3

Formules mathématiques et programmation.

PROPRIÉTÉS du carré normal d'ordre 3

Le carré comprend les nombres de 1 à 9 et la somme de tous ces nombres est: 9 x 10 / 2 = 45. La somme magique est égale à: S = 45 / 3 = 15 C'est un carré magique associatif: 6 + 4 = 8 + 2 = 1 + 9 = 7 + 3 = 2 x 5 Le carré normal d'ordre 3 est unique, sauf ses variantes par symétrie. La case centrale est nécessairement 5. Un simple calcul le montre: La somme des deux extrémités diamétralement opposées est égale à 10 (somme magique 15 moins élément central 5), deux fois la valeur de la case centrale: A + I = 2E Deux nombres opposés de la couronne sont à égale distance du centre: A – E = E – I (formule précédente arrangée). Chaque coin est le double des deux adjacents au sommet opposé: 2 x 6 = 9 + 3; 2 x 8 = 7 + 9; 2 x 2 = 1 + 4 et 2 x 4 = 7 + 1. La somme des carrés de la première ligne égale celle de la dernière ligne et idem pour les colonnes extrêmes: 6² + 7² + 2² = 8² + 3² + 4² = 89 6² + 1² + 8² = 2² + 9² + 4² = 101

FORME GÉNÉRIQUE

des carrés magiques d'ordre 3

Nous savons que l'élément central est fixé (5) et la somme de deux nombres opposés est toujours 10.

Formules simples

m – 1	m + 4	m – 3
m – 2	m	m + 2
m + 3	m – 4	m + 1

M est l'élément central et 3m est la somme magique

les éléments de la couronne sont symétriques par rapport au centre.

Formules générales dues à Édouard Lucas

a + b	a – b – c	a + c
a – b + c	a	a + b – c
a – c	a + b + c	a – b

Voir Démonstration

Pour toutes les valeurs de a, b et c, ce carré est magique.

Remarque: avec a, b et c quelconque, on n'est pas assuré d'avoir des nombres différents ou consécutifs.

La constante magique est 3a. Voyez la colonne centrale.

Notez que tous les termes du carré sont symétriques par rapport au centre.

les neuf nombres forment huit progressions arithmétiques (en jaune avec l'élément central en rouge):

Voir Exploitation de cette propriété (parallélogramme magique) /

Programmation des carrés alpha-magiques

Quelques exemples utilisant la forme générique

Le classique avec les nombres de 0 à 9

a	b	c
5	1	3

6	1	8
7	5	3
2	9	4

En voici trois autres

a	b	c
5	1	4

6	0	9
8	5	2
1	10	4

a	b	c
10	1	3

11	6	13
12	10	8
7	14	9

a	b	c
1000	1	500

1001	499	1500
1499	1000	501
500	1501	999

Voir Propriétés des carrés 3 x 3 / Construction du carré 9x9

Autres FORMES GÉNÉRIQUES

Carré normalisé

Élément central à 0.

Somme nulle.

b	b – c	c
b + c	0	b – c
c	b + c	b

Note: avec la forme normalisée, on obtient toujours une suite de nombres consécutifs.

Autre forme générique

Deux variables indépendantes h et i

10 – i	10 – h	– 5 + h + i
– 10 + h + 2i	5	20 – h – 2i
15 – h - i	h	i

Semi – magique

Somme égale sur lignes et colonnes seulement

Variables indépendantes e, f, h et i

15 + e + f + h + i	15 – e – h	15 – f – i
15 – e – f	e	f
15 – h - i	h	i

Programmation avec Maple
Nous nous proposons de construire les huit carrés magiques permutés d'ordre 3. Il s'agit plutôt d'un exercice de programmation avec les tableaux de nombres (matrices). Méthode valable seulement pour les petits carrés magiques. Voir Programmation pour les grands carrés Exercice, car cette programmation permet de se familiariser avec la manipulation des matrices qui recèle quelques pièges.	Oups ! Pour un carré 3x3, il y a 9! = 362 880 permutations des neuf nombres à analyser. Il y en aurait déjà 21 mille milliards (20 922 789 888 000) pour l'ordre 4 et 10^25 pour l'ordre 5.
	Commentaires Réinitialisation (restart). Appel des logiciels de traitement des matrices (ArrayTools) et de combinatoire. Formation d'une matrice (2x4) pour y loger nos huit carrés magiques. La liste e des nombres de 1 à 9 est permutée en E. Pour chaque permutation f, on forme la matrice A. Puis on calcule la somme en colonnes avec AddlongDimension et le paramètre 1, puis la somme en lignes avec le paramètre 2. Pour les diagonales, on additionne les éléments de même indice pour l'une et d'indices complémentaires pour l'autre. SC est l'ensemble (set) des sommes sur les colonnes. Si les sommes sont identiques, l'ensemble ne comporte qu'un seul élément (nops = 1). Si en plus, les sommes en diagonales valent 15, alors le carré est magique. Les carrés magiques sont alors rangés dans un super tableau selon la valeur de leur rang (kt). Voir le Explication du calcul de i et j

Voir Programmation – Index / Brève 481

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