NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Constante

 

Débutants

Constante PI

Généralités

 

Glossaire

PI

 

 

INDEX

Constante PI

 

Introduction

Calcul

Formules

Propriétés

Historique

Valeur

Décimales

Curiosités

Valeur (suite)

Programmation

 

Sommaire de cette page

>>> Valeur proposées par Ramanujan

>>> Codage

>>> Formules impliquant Pi

>>> Formules avec Pi, Phi ou e

>>> Pi et nombres e Fibonacci

>>> Nièmes chiffres de Pi

>>> Pi un nombre presque entier?

>>> Pi pannumérique

>>> Décimales de Pi et JEUX

 

 

 

 

 

VALEUR DE

Suite

 

Anglais: Pi value to 100 decimal places

 

Valeurs de Srinivasa Ramanujan (le "Euler" Indien)

 

=  

= 3,14159265258266

2,52  x

1,24666375151019

= 3,14159265380568

= 9801 / 1103

= 8,885766092

 = 3,14159265358979

écart = 0,100 10-8

 = 3,14159265358979

 écart = 0,216 10-9

écart = 0,216 10-6

Voir Euler / Ramanujan

 

Puissances de Pi

 

Quelles sont les puissances k de Pi qui se rapprochent le plus d'un entier ?

Valeur de k record en jaune.

 

Exemple: Pi3 =31,006277 … proche du nombre 31 à 0,006277 … près.

Voir Nombres presque entiers

 

 

 

CODAGE

 

Pi en base 2

= 11, 0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000

          0101 1010 0011 0000 1000 1101 0011 0001 0011

          0001 1001 1000 1010 0010 1110 00 … (100 chiffres)

Pi en virgule flottante

= 0 10000000 10010010000111111011011

 

Voir Pi en base 4 et humour

 

 

FORMULE IMPLIQUANT Pi – Exemples

 ² / 6 =

1,6449

*    Somme des inverses des carrés (1/n²).

Voir Formules d'Euler / Fonction zêta

6 /  ² =

0,6079

*    Probabilité que 2 nombres pris au hasard soient premiers entre eux.

( – 2) / 4 =

0,2853…

*    Probabilité de former un triangle obtusangle.

Suite en Formules

 

 

Pi avec Pi, Phi et e

3,140968877…

*    Écart avec Pi = 0,000623777…

3,142191833…

*    Écart avec Pi = 0,00059918…

3,141640783…

*    Écart avec Pi = 0,000048129…

3,141577387…

*    Écart avec Pi = 0,000015266…

3,141598280…

*    Écart avec Pi = 0,000005626…

Due à Michele Fanelli

2,71828180861191…

*    Écart avec e = 1,98 10-8

Due à Castellanos

 

Pi et nombres de Fibonacci

On cherche une approximation de Pi avec la racine énième des nombres de Fibonacci, ou encore avec somme ou produit de deux nombres de Fibonacci.

 

= 31,41648784…

EPi = 0,0000561…

Approximation due à Joseph-Claude Barbier – 2017

Coquetterie avec les nombres 26, 27 et 28.

= 3,141540909…

EPi = 0,0000517…

Avec Fn + Fn+2 : pas mieux jusqu'à F1000   et jusqu'à racine 1/100

Avec Fn + Fn+1 : même ordre de grandeur de l'écart pour racine 44e et 91e. Peu d'intérêt.

= 31,41655614…

EPi = 0,0000629…

= 314166,6054…

EPi = 0,0000734…

Avec Fn seul: pas mieux jusqu'à F1000   et jusqu'à racine 1/100

= 3,138844959…

EPi = 0,00274…

= 3,142439963…

EPi = 0,000847…

 

Rappel liant les deux approximations ci-dessus notées en jaune:

F16 2 = F15 x F17 – 1

987² = 974 169 = 610 x 1597 – 1  

= 31,41656421…

EPi = 0,0000637…

 

Approximation due à Joseph-Claude Barbier – 2017

Avec Fn x Fn+1  (successifs)

Avec Fn x Fn+2 (les pairs ou les impairs)

Pas mieux jusqu'à F1000   

et jusqu'à racine 1/100

Ces approximations sont le fruit du hasard des nombres.

On aurait pu chercher une explication du côté du rapport entre nombres de Fibonacci qui se rapprochent du nombre d'or pour les grands nombres:

et notre produit:

Cependant, rien de particulier avec sa racine énième. en rapport avec Pi.

Voir Nombre 987

 

 

Nièmes CHIFFRES de PI

 

Algorithme de Bailey-Borwein-Plouffe – 1995

 

David Bailey, Peter Borweinet et Simon Plouffe ont calculé les chiffres de Pi  au 10 milliardième rang, mais en hexadécimal (en fait base 2 ou base 2n). Travaux réalisés sur ordinateur en utilisant un langage formel
(manipulation de formules et non de chiffres).

 

La formule utilisée permet de calculer un chiffre de rang quelconque sans connaître les précédents. Personne ne supposait qu'il était possible de construire de tels algorithmes. On ne connaît pas l'algorithme permettant de faire la même chose en décimal.

 

 Formule

 

 

Ce que donne cette formule

 

Détail des calculs

Merci à Laurent Touchard

 

Voir Limite de calcul des décimales de Pi

 

 

Point de Feynman: Pi un nombre presque entier?

Richard Feynman (1918-1988) aimait réciter les décimales de Pi en s'arrêtant à cette séquence de six 9 de suite tout en disant etcétéra. Le premier de ces 9 se trouve à la 762e décimale.

 

3.

1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679

8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196

4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273

7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094

3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912

9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132

0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235

4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999…

 

Suite pour atteindre 1000  décimales

                                                                                                                              4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

Voir Nombres presque-entiers / Nombre 999 999

 

 

En 2004, Daniel Tammet (1979-) récite  22 514 décimales de Pi en 5 heures, 9 minutes et 24 secondes, soit 0,8 s par chiffre. Il avait mis trois mois à les apprendre.

 

 

Pi pannumérique

Combien faut-il de décimales pour que Pi contiennent tous les chiffres de 1 à 9 ?

Réponse: 13

 

 

Et pour tous les chiffres de 0 à 9 ?

Réponse: 32.

 

Formule pannumérique de Plouffe  et Ed Pegg Jr, indépendamment

 

Pangramme numérique

= 3,1415926539165017461…

Écart avec Pi = 3,26 10-10

Note: le 0 peut être introduit comme exposant

du 1 ou simplement ajouté à la formule.

Anglais: pandigital approximation to Pi

 

Expressions pannumériques de Pi

 

Position des décimales

3,8415926 – 0,7 = 3,1415926

Toutes les décimales sont exactes. Écart: 5,4 10-8

 

Expression algébrique approchée

 

22 décimales pour un écart: -1,1 10-18

Formule due à G. W. Barbosa

 

Expression algébrique exacte

 

Voir Fonction gamma (factorielle de fractions)

 

 

Voir Pannumérique / Carrés et cubes pannumériques / Puissances de 2 pannumériques

 

 

 

Décimales de Pi et jeux

 

La constante Pi et ses décimales sont parfois utilisées comme objet de questions dans des olympiades ou des rallyes.

Ce tableau propose une source d'inspiration ou de recherche de solutions.

Il donne la différence entre les décimales (Pi1) et des groupes de décimales (Pi2 à Pi5) considérés comme des nombres.

 

Pi

3,14

 

 

159

 

 

265

 

 

358

 

 

979

 

 

323

 

 

Pi1

3

1

4

1

5

9

2

6

5

3

5

8

9

7

9

3

2

3

 

 

2

3

3

4

4

7

4

1

2

2

3

1

2

2

6

1

1

Pi2

 

 

14

41

15

59

92

26

65

53

35

58

89

97

79

93

32

23

 

 

 

 

 

1

18

77

33

27

27

30

5

54

39

10

4

47

70

 

12

 

26

 

41

 

133

 

198

 

233

 

322

 

401

 

433

 

Pi3

 

 

 

141

415

159

592

926

265

653

535

358

589

897

979

793

932

323

 

 

 

 

 

 

 

451

511

106

61

391

93

64

362

621

204

35

656

 

123

 

 

264

 

 

856

 

 

1509

 

 

2098

 

 

2891

 

 

Pi4

 

 

 

 

1415

4159

1592

5926

9265

2653

6535

5358

3589

5897

8979

9793

7932

9323

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7850

1506

4943

568

5676

3244

2444

4435

4343

3426

 

1234

 

 

 

2649

 

 

 

11914

 

 

 

15503

 

 

 

23435

 

Pi5

 

 

 

 

 

14159

41592

15926

59265

92653

26535

65358

53589

35897

58979

89793

97932

79323

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12376

23766

37663

23368

33674

63258

32574

25734

 

12345

 

 

 

 

26504

 

 

 

 

53039

 

 

 

 

142832

 

 

 

Exemples de lecture

*    Prenons Pi4 qui donne les nombres 1415, 4159, 1592, 5926, 9265 … en prenant les décimales par paquets de quatre.

*    La ligne suivante indique la différence entre un paquet de quatre et le paquet de quatre qui le précède. Ainsi: 9265 – 1415 = 7850.

*    La troisième ligne s'interprète de cette façon: on a choisi un nombre racine 1234. On l'ajoute aux paquets de quatre successifs. On obtient la suite de nombres: 1 234, 2 649, 11 914, 15 503, 23 435 … qui cachent ainsi la suite des décimales de Pi par paquets de quatre en faisant la différence.

*    On a la même chose avec 12 345, 26 504, 53 039, 142 832 pour les décimales de Pi par paquets de 5.

 

Voir Jeux et énigmesIndex

 

 

 

 

Suite

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*  Historique du calcul de Pi

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*  Approximations de Pi avec la suite de Farey

Voir

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*  Théorie des nombresIndex

DicoNombre

*  Nombre 3,14

Site

*  Pi Approximations – Wolfram MathWorld

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