NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Problème

>>> Approche

>>> Démonstration

>>> Bonus – Propriétés du rectangle avec ses diagonales

 

 

 

 

 

Problème

Un rectangle ABCD.

 

Une parallèle quelconque à la diagonale BD qui coupe le rectangle en P et M.

 

Comparer les triangles CPA et CMA.

Comparer les deux triangles jaunes

 

 

Approche

 

Recherche de pistes

Visiblement les deux triangles sont quelconques: ni rectangles, ni isocèles.

Les côtés n'ont pas mêmes mesures; les triangles ne sont pas égaux.

Les angles sont différents; les triangles ne sont pas semblables.

 

La seule piste qui vient à l'esprit:

la comparaison des aires.

 

Recherche de cas particuliers

Ayant le choix du positionnement de la parallèle, pourquoi ne pas la choisir confondue avec la diagonale? Alors P est en D et M est en B.

Nous avons deux triangles rectangles dont nous voulons comparer les aires:

Les aires des triangles T1 et T2 sont égales et ce sera la même chose avec une parallèle quelconque.

(Normal! Ce sont chacun un demi-rectangle).

 

En termes d'aires:

 

Une puce à l'oreille *…

Qui dit parallèle, dit théorème de Thalès et, donc, des proportions qui sont conservées.

Il est sans doute intéressant de comparer les longueurs x et y. Visiblement, pas égales!

Le triangle marron et le triangle rose sont rectangles, mais ce n'est pas le plus important. Ils ont:

*       deux côtés communs, et

*       un côté parallèle à l'autre;

=> ils sont semblables.

 

Le théorème de Thalès s'applique =>

 

 

* Les Anglais disent: it rings a bell: ça sonne une cloche; ça me dit quelque chose.

Certains invoqueraient l'intuition mathématique.

Pour moi, il s'agit plutôt d'un réflexe intellectuel étant donné le champ des choses apprises.

 

 

Démonstration

 

Aire de T1 =

Aire du demi-rectangle – T3

Aire de T2 =

Aire du demi-rectangle – T4

 

 

Or nous connaissons y en fonction de x:

 



 

 

Les triangles T1 et T2 ont la même aire.

De même, les triangles T3 et T4 ont même aire.

 

Et cela quelle que soit la position de la parallèlePM à DB

 

 

Bonus – Propriétés du rectangle avec ses diagonales

 

Prenons les triangles en jaune sur la figure:

 

 

Les aires des triangles T1 et T2 sont égales.

 

Théorème

Les quatre triangles découpés par les diagonales ont la même aire,

égale à un quart de celle du rectangle.

 

 

 

En termes d'aires:

Et même chose pour leurs symétriques

Anglais:  Area of diagonal-generated triangles in rectangles

                                                                                          

 

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